Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58274 / 86562
↖ ↑ ↗
← S 49.898173°
W 19.945679°		 ← 196.74 m → S 49.898173°
W 19.942932°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
S 49.899942°
W 19.945679°		 ← 196.73 m →
38 705 m²		 S 49.899942°
W 19.942932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444599151611328 y=0.660419464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444599151611328 × 217)
    floor (0.444599151611328 × 131072)
    floor (58274.5)     		tx = 58274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660419464111328 × 217)
    floor (0.660419464111328 × 131072)
    floor (86562.5)     		ty = 86562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58274 / 86562 ti = "17/58274/86562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58274/86562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58274 ÷ 217
    58274 ÷ 131072     		x = 0.444595336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86562 ÷ 217
    86562 ÷ 131072     		y = 0.660415649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444595336914062 × 2 - 1) × π
    -0.110809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34811777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660415649414062 × 2 - 1) × π
    -0.320831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0079212514113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34811777} λ = -0.34811777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0079212514113))-π/2
    2×atan(0.364976886737589)-π/2
    2×0.349954459173266-π/2
    0.699908918346532-1.57079632675     		φ = -0.87088741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34811777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.945679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87088741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.898173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58274 KachelY 86562 -0.34811777 -0.87088741 -19.945679 -49.898173
    Oben rechts KachelX + 1 58275 KachelY 86562 -0.34806983 -0.87088741 -19.942932 -49.898173
    Unten links KachelX 58274 KachelY + 1 86563 -0.34811777 -0.87091829 -19.945679 -49.899942
    Unten rechts KachelX + 1 58275 KachelY + 1 86563 -0.34806983 -0.87091829 -19.942932 -49.899942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87088741--0.87091829) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87088741--0.87091829) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(-0.87088741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		do = 196.739385765779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(-0.87091829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644124399841986 × 6371000     		du = 196.732171473666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87088741)-sin(-0.87091829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644148020287708-0.644124399841986)×R²
    abs(-0.34806983--0.34811777)×2.36204457215727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36204457215727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36204457215727e-05×40589641000000     		ar = 38705.104578786m²