Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58274 / 38398
↖ ↑ ↗
← N 59.537103°
W 19.945679°		 ← 154.84 m → N 59.537103°
W 19.942932°		 →
↑
154.88 m
↓
↑
154.88 m
↓
N 59.535710°
W 19.945679°		 ← 154.85 m →
23 983 m²		 N 59.535710°
W 19.942932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444599151611328 y=0.292957305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444599151611328 × 217)
    floor (0.444599151611328 × 131072)
    floor (58274.5)     		tx = 58274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292957305908203 × 217)
    floor (0.292957305908203 × 131072)
    floor (38398.5)     		ty = 38398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58274 / 38398 ti = "17/58274/38398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58274/38398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58274 ÷ 217
    58274 ÷ 131072     		x = 0.444595336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38398 ÷ 217
    38398 ÷ 131072     		y = 0.292953491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444595336914062 × 2 - 1) × π
    -0.110809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34811777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292953491210938 × 2 - 1) × π
    0.414093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30091158188908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34811777} λ = -0.34811777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30091158188908))-π/2
    2×atan(3.67264305702938)-π/2
    2×1.30495740097978-π/2
    2.60991480195957-1.57079632675     		φ = 1.03911848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34811777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.945679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03911848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.537103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58274 KachelY 38398 -0.34811777 1.03911848 -19.945679 59.537103
    Oben rechts KachelX + 1 58275 KachelY 38398 -0.34806983 1.03911848 -19.942932 59.537103
    Unten links KachelX 58274 KachelY + 1 38399 -0.34811777 1.03909417 -19.945679 59.535710
    Unten rechts KachelX + 1 58275 KachelY + 1 38399 -0.34806983 1.03909417 -19.942932 59.535710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03911848-1.03909417) × R
    2.43099999999163e-05 × 6371000     		dl = 154.879009999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03911848-1.03909417) × R
    2.43099999999163e-05 × 6371000     		dr = 154.879009999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(1.03911848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506980287022543 × 6371000     		do = 154.844829329171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34811777--0.34806983) × cos(1.03909417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50700124106318 × 6371000     		du = 154.851229232539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03911848)-sin(1.03909417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506980287022543-0.50700124106318)×R²
    abs(-0.34806983--0.34811777)×2.09540406370667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09540406370667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09540406370667e-05×40589641000000     		ar = 23982.7094765342m²