Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58273 / 81491
↖ ↑ ↗
← S 40.084376°
W 19.948425°		 ← 233.63 m → S 40.084376°
W 19.945679°		 →
↑
233.62 m
↓
↑
233.62 m
↓
S 40.086477°
W 19.948425°		 ← 233.62 m →
54 581 m²		 S 40.086477°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444591522216797 y=0.621730804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444591522216797 × 217)
    floor (0.444591522216797 × 131072)
    floor (58273.5)     		tx = 58273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621730804443359 × 217)
    floor (0.621730804443359 × 131072)
    floor (81491.5)     		ty = 81491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58273 / 81491 ti = "17/58273/81491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58273/81491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58273 ÷ 217
    58273 ÷ 131072     		x = 0.444587707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81491 ÷ 217
    81491 ÷ 131072     		y = 0.621726989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444587707519531 × 2 - 1) × π
    -0.110824584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34816570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621726989746094 × 2 - 1) × π
    -0.243453979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.764833233437996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34816570} λ = -0.34816570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764833233437996))-π/2
    2×atan(0.465411539585247)-π/2
    2×0.435595994160843-π/2
    0.871191988321686-1.57079632675     		φ = -0.69960434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34816570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.948425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69960434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.084376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58273 KachelY 81491 -0.34816570 -0.69960434 -19.948425 -40.084376
    Oben rechts KachelX + 1 58274 KachelY 81491 -0.34811777 -0.69960434 -19.945679 -40.084376
    Unten links KachelX 58273 KachelY + 1 81492 -0.34816570 -0.69964101 -19.948425 -40.086477
    Unten rechts KachelX + 1 58274 KachelY + 1 81492 -0.34811777 -0.69964101 -19.945679 -40.086477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69960434--0.69964101) × R
    3.66699999999609e-05 × 6371000     		dl = 233.624569999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69960434--0.69964101) × R
    3.66699999999609e-05 × 6371000     		dr = 233.624569999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34816570--0.34811777) × cos(-0.69960434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765097018581159 × 6371000     		do = 233.631578741033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34816570--0.34811777) × cos(-0.69964101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765073405702996 × 6371000     		du = 233.624368264623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69960434)-sin(-0.69964101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765097018581159-0.765073405702996)×R²
    abs(-0.34811777--0.34816570)×2.3612878163437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3612878163437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3612878163437e-05×40589641000000     		ar = 54581.2348557133m²