Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58272 / 85983
↖ ↑ ↗
← S 48.862908°
W 19.951172°		 ← 200.93 m → S 48.862908°
W 19.948425°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.864715°
W 19.951172°		 ← 200.92 m →
40 361 m²		 S 48.864715°
W 19.948425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444583892822266 y=0.656002044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444583892822266 × 217)
    floor (0.444583892822266 × 131072)
    floor (58272.5)     		tx = 58272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656002044677734 × 217)
    floor (0.656002044677734 × 131072)
    floor (85983.5)     		ty = 85983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58272 / 85983 ti = "17/58272/85983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58272/85983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58272 ÷ 217
    58272 ÷ 131072     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85983 ÷ 217
    85983 ÷ 131072     		y = 0.655998229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655998229980469 × 2 - 1) × π
    -0.311996459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.980165786531288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980165786531288))-π/2
    2×atan(0.375248882483627)-π/2
    2×0.358988850756438-π/2
    0.717977701512875-1.57079632675     		φ = -0.85281863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85281863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.862908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58272 KachelY 85983 -0.34821364 -0.85281863 -19.951172 -48.862908
    Oben rechts KachelX + 1 58273 KachelY 85983 -0.34816570 -0.85281863 -19.948425 -48.862908
    Unten links KachelX 58272 KachelY + 1 85984 -0.34821364 -0.85285016 -19.951172 -48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 58273 KachelY + 1 85984 -0.34816570 -0.85285016 -19.948425 -48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85281863--0.85285016) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85281863--0.85285016) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34816570) × cos(-0.85281863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657862945526467 × 6371000     		do = 200.928276955869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34816570) × cos(-0.85285016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 200.921024084848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85281863)-sin(-0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657862945526467-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.34816570--0.34821364)×2.37467576292838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37467576292838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37467576292838e-05×40589641000000     		ar = 40361.2676085345m²