Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58272 / 81441
↖ ↑ ↗
← S 39.979225°
W 19.951172°		 ← 234.04 m → S 39.979225°
W 19.948425°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.981330°
W 19.951172°		 ← 234.03 m →
54 781 m²		 S 39.981330°
W 19.948425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444583892822266 y=0.621349334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444583892822266 × 217)
    floor (0.444583892822266 × 131072)
    floor (58272.5)     		tx = 58272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621349334716797 × 217)
    floor (0.621349334716797 × 131072)
    floor (81441.5)     		ty = 81441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58272 / 81441 ti = "17/58272/81441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58272/81441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58272 ÷ 217
    58272 ÷ 131072     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81441 ÷ 217
    81441 ÷ 131072     		y = 0.621345520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621345520019531 × 2 - 1) × π
    -0.242691040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.762436388456993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762436388456993))-π/2
    2×atan(0.46652839683016)-π/2
    2×0.436513611048509-π/2
    0.873027222097017-1.57079632675     		φ = -0.69776910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69776910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.979225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58272 KachelY 81441 -0.34821364 -0.69776910 -19.951172 -39.979225
    Oben rechts KachelX + 1 58273 KachelY 81441 -0.34816570 -0.69776910 -19.948425 -39.979225
    Unten links KachelX 58272 KachelY + 1 81442 -0.34821364 -0.69780584 -19.951172 -39.981330
    Unten rechts KachelX + 1 58273 KachelY + 1 81442 -0.34816570 -0.69780584 -19.948425 -39.981330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69776910--0.69780584) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69776910--0.69780584) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34816570) × cos(-0.69776910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766277468054407 × 6371000     		do = 234.04086272569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34816570) × cos(-0.69780584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766253861727222 × 6371000     		du = 234.033652745741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69776910)-sin(-0.69780584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766277468054407-0.766253861727222)×R²
    abs(-0.34816570--0.34821364)×2.36063271852327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36063271852327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36063271852327e-05×40589641000000     		ar = 54781.2273044492m²