Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58271 / 29230
↖ ↑ ↗
← N 70.097399°
W 19.953919°		 ← 103.97 m → N 70.097399°
W 19.951172°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.096464°
W 19.953919°		 ← 103.98 m →
10 811 m²		 N 70.096464°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444576263427734 y=0.223011016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444576263427734 × 217)
    floor (0.444576263427734 × 131072)
    floor (58271.5)     		tx = 58271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223011016845703 × 217)
    floor (0.223011016845703 × 131072)
    floor (29230.5)     		ty = 29230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58271 / 29230 ti = "17/58271/29230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58271/29230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58271 ÷ 217
    58271 ÷ 131072     		x = 0.444572448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29230 ÷ 217
    29230 ÷ 131072     		y = 0.223007202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444572448730469 × 2 - 1) × π
    -0.110855102539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34826158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223007202148438 × 2 - 1) × π
    0.553985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74039707760576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34826158} λ = -0.34826158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74039707760576))-π/2
    2×atan(5.69960615936875)-π/2
    2×1.3971133677178-π/2
    2.79422673543559-1.57079632675     		φ = 1.22343041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34826158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.953919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22343041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.097399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58271 KachelY 29230 -0.34826158 1.22343041 -19.953919 70.097399
    Oben rechts KachelX + 1 58272 KachelY 29230 -0.34821364 1.22343041 -19.951172 70.097399
    Unten links KachelX 58271 KachelY + 1 29231 -0.34826158 1.22341409 -19.953919 70.096464
    Unten rechts KachelX + 1 58272 KachelY + 1 29231 -0.34821364 1.22341409 -19.951172 70.096464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22343041-1.22341409) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22343041-1.22341409) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34826158--0.34821364) × cos(1.22343041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34042223485117 × 6371000     		do = 103.973712991925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34826158--0.34821364) × cos(1.22341409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34043758005588 × 6371000     		du = 103.978399812429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22343041)-sin(1.22341409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34042223485117-0.34043758005588)×R²
    abs(-0.34821364--0.34826158)×1.53452047093605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53452047093605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53452047093605e-05×40589641000000     		ar = 10810.8813513156m²