Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58269 / 35787
↖ ↑ ↗
← N 62.981437°
W 19.959412°		 ← 138.75 m → N 62.981437°
W 19.956665°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 62.980189°
W 19.959412°		 ← 138.75 m →
19 253 m²		 N 62.980189°
W 19.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444561004638672 y=0.273036956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444561004638672 × 217)
    floor (0.444561004638672 × 131072)
    floor (58269.5)     		tx = 58269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273036956787109 × 217)
    floor (0.273036956787109 × 131072)
    floor (35787.5)     		ty = 35787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58269 / 35787 ti = "17/58269/35787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58269/35787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58269 ÷ 217
    58269 ÷ 131072     		x = 0.444557189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35787 ÷ 217
    35787 ÷ 131072     		y = 0.273033142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444557189941406 × 2 - 1) × π
    -0.110885620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34835745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273033142089844 × 2 - 1) × π
    0.453933715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.42607482679705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34835745} λ = -0.34835745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42607482679705))-π/2
    2×atan(4.16232922233256)-π/2
    2×1.33501488338162-π/2
    2.67002976676325-1.57079632675     		φ = 1.09923344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34835745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.959412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09923344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.981437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58269 KachelY 35787 -0.34835745 1.09923344 -19.959412 62.981437
    Oben rechts KachelX + 1 58270 KachelY 35787 -0.34830951 1.09923344 -19.956665 62.981437
    Unten links KachelX 58269 KachelY + 1 35788 -0.34835745 1.09921166 -19.959412 62.980189
    Unten rechts KachelX + 1 58270 KachelY + 1 35788 -0.34830951 1.09921166 -19.956665 62.980189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09923344-1.09921166) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dl = 138.760379999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09923344-1.09921166) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dr = 138.760379999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(1.09923344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454279152002838 × 6371000     		do = 138.748546167109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34835745--0.34830951) × cos(1.09921166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454298554812594 × 6371000     		du = 138.754472284637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09923344)-sin(1.09921166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454279152002838-0.454298554812594)×R²
    abs(-0.34830951--0.34835745)×1.94028097563193e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94028097563193e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94028097563193e-05×40589641000000     		ar = 19253.2121466376m²