Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58268 / 38357
↖ ↑ ↗
← N 59.594146°
W 19.962158°		 ← 154.58 m → N 59.594146°
W 19.959412°		 →
↑
154.62 m
↓
↑
154.62 m
↓
N 59.592755°
W 19.962158°		 ← 154.59 m →
23 903 m²		 N 59.592755°
W 19.959412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444553375244141 y=0.292644500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444553375244141 × 217)
    floor (0.444553375244141 × 131072)
    floor (58268.5)     		tx = 58268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292644500732422 × 217)
    floor (0.292644500732422 × 131072)
    floor (38357.5)     		ty = 38357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58268 / 38357 ti = "17/58268/38357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58268/38357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58268 ÷ 217
    58268 ÷ 131072     		x = 0.444549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38357 ÷ 217
    38357 ÷ 131072     		y = 0.292640686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292640686035156 × 2 - 1) × π
    0.414718627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.30287699477351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34840539} λ = -0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30287699477351))-π/2
    2×atan(3.67986841509359)-π/2
    2×1.30545519192214-π/2
    2.61091038384428-1.57079632675     		φ = 1.04011406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04011406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.594146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58268 KachelY 38357 -0.34840539 1.04011406 -19.962158 59.594146
    Oben rechts KachelX + 1 58269 KachelY 38357 -0.34835745 1.04011406 -19.959412 59.594146
    Unten links KachelX 58268 KachelY + 1 38358 -0.34840539 1.04008979 -19.962158 59.592755
    Unten rechts KachelX + 1 58269 KachelY + 1 38358 -0.34835745 1.04008979 -19.959412 59.592755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04011406-1.04008979) × R
    2.42700000001594e-05 × 6371000     		dl = 154.624170001016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04011406-1.04008979) × R
    2.42700000001594e-05 × 6371000     		dr = 154.624170001016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34840539--0.34835745) × cos(1.04011406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50612188811395 × 6371000     		do = 154.582652207299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34840539--0.34835745) × cos(1.04008979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506142819916683 × 6371000     		du = 154.589045318638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04011406)-sin(1.04008979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50612188811395-0.506142819916683)×R²
    abs(-0.34835745--0.34840539)×2.0931802733215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0931802733215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0931802733215e-05×40589641000000     		ar = 23902.708560232m²