Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58267 / 85653
↖ ↑ ↗
← S 48.263084°
W 19.964905°		 ← 203.28 m → S 48.263084°
W 19.962158°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
S 48.264913°
W 19.964905°		 ← 203.28 m →
41 339 m²		 S 48.264913°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444545745849609 y=0.653484344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444545745849609 × 217)
    floor (0.444545745849609 × 131072)
    floor (58267.5)     		tx = 58267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653484344482422 × 217)
    floor (0.653484344482422 × 131072)
    floor (85653.5)     		ty = 85653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58267 / 85653 ti = "17/58267/85653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58267/85653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58267 ÷ 217
    58267 ÷ 131072     		x = 0.444541931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85653 ÷ 217
    85653 ÷ 131072     		y = 0.653480529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444541931152344 × 2 - 1) × π
    -0.110916137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34845332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653480529785156 × 2 - 1) × π
    -0.306961059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.96434660965667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34845332} λ = -0.34845332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96434660965667))-π/2
    2×atan(0.381232211825205)-π/2
    2×0.364223300916459-π/2
    0.728446601832917-1.57079632675     		φ = -0.84234972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34845332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.964905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84234972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.263084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58267 KachelY 85653 -0.34845332 -0.84234972 -19.964905 -48.263084
    Oben rechts KachelX + 1 58268 KachelY 85653 -0.34840539 -0.84234972 -19.962158 -48.263084
    Unten links KachelX 58267 KachelY + 1 85654 -0.34845332 -0.84238164 -19.964905 -48.264913
    Unten rechts KachelX + 1 58268 KachelY + 1 85654 -0.34840539 -0.84238164 -19.962158 -48.264913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84234972--0.84238164) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dl = 203.362320000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84234972--0.84238164) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dr = 203.362320000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34845332--0.34840539) × cos(-0.84234972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665711282027806 × 6371000     		do = 203.282948474038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34845332--0.34840539) × cos(-0.84238164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665687462684185 × 6371000     		du = 203.275674950916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84234972)-sin(-0.84238164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665711282027806-0.665687462684185)×R²
    abs(-0.34840539--0.34845332)×2.38193436209455e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38193436209455e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38193436209455e-05×40589641000000     		ar = 41339.3524413339m²