Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58266 / 86133
↖ ↑ ↗
← S 49.133206°
W 19.967651°		 ← 199.84 m → S 49.133206°
W 19.964905°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 49.135002°
W 19.967651°		 ← 199.83 m →
39 926 m²		 S 49.135002°
W 19.964905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444538116455078 y=0.657146453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444538116455078 × 217)
    floor (0.444538116455078 × 131072)
    floor (58266.5)     		tx = 58266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657146453857422 × 217)
    floor (0.657146453857422 × 131072)
    floor (86133.5)     		ty = 86133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58266 / 86133 ti = "17/58266/86133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58266/86133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58266 ÷ 217
    58266 ÷ 131072     		x = 0.444534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86133 ÷ 217
    86133 ÷ 131072     		y = 0.657142639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    -0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657142639160156 × 2 - 1) × π
    -0.314285278320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.987356321474297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34850126} λ = -0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987356321474297))-π/2
    2×atan(0.372560319967228)-π/2
    2×0.356630059018988-π/2
    0.713260118037975-1.57079632675     		φ = -0.85753621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85753621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.133206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58266 KachelY 86133 -0.34850126 -0.85753621 -19.967651 -49.133206
    Oben rechts KachelX + 1 58267 KachelY 86133 -0.34845332 -0.85753621 -19.964905 -49.133206
    Unten links KachelX 58266 KachelY + 1 86134 -0.34850126 -0.85756757 -19.967651 -49.135002
    Unten rechts KachelX + 1 58267 KachelY + 1 86134 -0.34845332 -0.85756757 -19.964905 -49.135002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85753621--0.85756757) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85753621--0.85756757) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(-0.85753621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654302650971148 × 6371000     		do = 199.840871356693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(-0.85756757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654278935188949 × 6371000     		du = 199.833627946366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85753621)-sin(-0.85756757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654302650971148-0.654278935188949)×R²
    abs(-0.34845332--0.34850126)×2.37157821986189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37157821986189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37157821986189e-05×40589641000000     		ar = 39926.3953689731m²