Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58266 / 38005
↖ ↑ ↗
← N 60.079914°
W 19.967651°		 ← 152.34 m → N 60.079914°
W 19.964905°		 →
↑
152.33 m
↓
↑
152.33 m
↓
N 60.078544°
W 19.967651°		 ← 152.35 m →
23 207 m²		 N 60.078544°
W 19.964905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444538116455078 y=0.289958953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444538116455078 × 217)
    floor (0.444538116455078 × 131072)
    floor (58266.5)     		tx = 58266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289958953857422 × 217)
    floor (0.289958953857422 × 131072)
    floor (38005.5)     		ty = 38005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58266 / 38005 ti = "17/58266/38005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58266/38005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58266 ÷ 217
    58266 ÷ 131072     		x = 0.444534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38005 ÷ 217
    38005 ÷ 131072     		y = 0.289955139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    -0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289955139160156 × 2 - 1) × π
    0.420089721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.31975078343977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34850126} λ = -0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31975078343977))-π/2
    2×atan(3.74248857090194)-π/2
    2×1.30969431668056-π/2
    2.61938863336112-1.57079632675     		φ = 1.04859231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04859231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.079914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58266 KachelY 38005 -0.34850126 1.04859231 -19.967651 60.079914
    Oben rechts KachelX + 1 58267 KachelY 38005 -0.34845332 1.04859231 -19.964905 60.079914
    Unten links KachelX 58266 KachelY + 1 38006 -0.34850126 1.04856840 -19.967651 60.078544
    Unten rechts KachelX + 1 58267 KachelY + 1 38006 -0.34845332 1.04856840 -19.964905 60.078544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04859231-1.04856840) × R
    2.39100000001269e-05 × 6371000     		dl = 152.330610000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04859231-1.04856840) × R
    2.39100000001269e-05 × 6371000     		dr = 152.330610000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(1.04859231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.498791617497781 × 6371000     		do = 152.343798879957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34850126--0.34845332) × cos(1.04856840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.498812340676802 × 6371000     		du = 152.350128272245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04859231)-sin(1.04856840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498791617497781-0.498812340676802)×R²
    abs(-0.34845332--0.34850126)×2.0723179021187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0723179021187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0723179021187e-05×40589641000000     		ar = 23207.1058943025m²