Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58265 / 29222
↖ ↑ ↗
← N 70.104878°
W 19.970398°		 ← 103.94 m → N 70.104878°
W 19.967651°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.103943°
W 19.970398°		 ← 103.94 m →
10 807 m²		 N 70.103943°
W 19.967651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444530487060547 y=0.222949981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444530487060547 × 217)
    floor (0.444530487060547 × 131072)
    floor (58265.5)     		tx = 58265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222949981689453 × 217)
    floor (0.222949981689453 × 131072)
    floor (29222.5)     		ty = 29222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58265 / 29222 ti = "17/58265/29222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58265/29222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58265 ÷ 217
    58265 ÷ 131072     		x = 0.444526672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29222 ÷ 217
    29222 ÷ 131072     		y = 0.222946166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444526672363281 × 2 - 1) × π
    -0.110946655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34854920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222946166992188 × 2 - 1) × π
    0.554107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74078057280272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34854920} λ = -0.34854920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74078057280272))-π/2
    2×atan(5.70179235012547)-π/2
    2×1.39717863109649-π/2
    2.79435726219298-1.57079632675     		φ = 1.22356094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34854920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.970398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22356094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.104878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58265 KachelY 29222 -0.34854920 1.22356094 -19.970398 70.104878
    Oben rechts KachelX + 1 58266 KachelY 29222 -0.34850126 1.22356094 -19.967651 70.104878
    Unten links KachelX 58265 KachelY + 1 29223 -0.34854920 1.22354462 -19.970398 70.103943
    Unten rechts KachelX + 1 58266 KachelY + 1 29223 -0.34850126 1.22354462 -19.967651 70.103943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22356094-1.22354462) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22356094-1.22354462) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34854920--0.34850126) × cos(1.22356094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340299498159273 × 6371000     		do = 103.936226046977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34854920--0.34850126) × cos(1.22354462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340314844089052 × 6371000     		du = 103.940913088936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22356094)-sin(1.22354462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340299498159273-0.340314844089052)×R²
    abs(-0.34850126--0.34854920)×1.53459297793646e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53459297793646e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53459297793646e-05×40589641000000     		ar = 10806.9836683477m²