Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58264 / 86599
↖ ↑ ↗
← S 49.963589°
W 19.973144°		 ← 196.43 m → S 49.963589°
W 19.970398°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
S 49.965356°
W 19.973144°		 ← 196.42 m →
38 582 m²		 S 49.965356°
W 19.970398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444522857666016 y=0.660701751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444522857666016 × 217)
    floor (0.444522857666016 × 131072)
    floor (58264.5)     		tx = 58264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660701751708984 × 217)
    floor (0.660701751708984 × 131072)
    floor (86599.5)     		ty = 86599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58264 / 86599 ti = "17/58264/86599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58264/86599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58264 ÷ 217
    58264 ÷ 131072     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86599 ÷ 217
    86599 ÷ 131072     		y = 0.660697937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660697937011719 × 2 - 1) × π
    -0.321395874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00969491669724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00969491669724))-π/2
    2×atan(0.364330113652452)-π/2
    2×0.349383595132-π/2
    0.698767190264001-1.57079632675     		φ = -0.87202914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87202914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.963589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58264 KachelY 86599 -0.34859713 -0.87202914 -19.973144 -49.963589
    Oben rechts KachelX + 1 58265 KachelY 86599 -0.34854920 -0.87202914 -19.970398 -49.963589
    Unten links KachelX 58264 KachelY + 1 86600 -0.34859713 -0.87205997 -19.973144 -49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 58265 KachelY + 1 86600 -0.34854920 -0.87205997 -19.970398 -49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87202914--0.87205997) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87202914--0.87205997) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34854920) × cos(-0.87202914) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643274290378124 × 6371000     		do = 196.431543156566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34854920) × cos(-0.87205997) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 196.42433512933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87202914)-sin(-0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643274290378124-0.643250685520518)×R²
    abs(-0.34854920--0.34859713)×2.36048576059966e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36048576059966e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36048576059966e-05×40589641000000     		ar = 38581.9692037538m²