Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58263 / 86136
↖ ↑ ↗
← S 49.138597°
W 19.975891°		 ← 199.82 m → S 49.138597°
W 19.973144°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 49.140393°
W 19.975891°		 ← 199.81 m →
39 922 m²		 S 49.140393°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444515228271484 y=0.657169342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444515228271484 × 217)
    floor (0.444515228271484 × 131072)
    floor (58263.5)     		tx = 58263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657169342041016 × 217)
    floor (0.657169342041016 × 131072)
    floor (86136.5)     		ty = 86136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58263 / 86136 ti = "17/58263/86136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58263/86136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58263 ÷ 217
    58263 ÷ 131072     		x = 0.444511413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86136 ÷ 217
    86136 ÷ 131072     		y = 0.65716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444511413574219 × 2 - 1) × π
    -0.110977172851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34864507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34864507} λ = -0.34864507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987500132173157))-π/2
    2×atan(0.372506745659617)-π/2
    2×0.356583013716476-π/2
    0.713166027432952-1.57079632675     		φ = -0.85763030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34864507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.975891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85763030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.138597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58263 KachelY 86136 -0.34864507 -0.85763030 -19.975891 -49.138597
    Oben rechts KachelX + 1 58264 KachelY 86136 -0.34859713 -0.85763030 -19.973144 -49.138597
    Unten links KachelX 58263 KachelY + 1 86137 -0.34864507 -0.85766166 -19.975891 -49.140393
    Unten rechts KachelX + 1 58264 KachelY + 1 86137 -0.34859713 -0.85766166 -19.973144 -49.140393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85763030--0.85766166) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85763030--0.85766166) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.85763030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65423149413128 × 6371000     		do = 199.819138226452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.85766166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654207776418596 × 6371000     		du = 199.811894226504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85763030)-sin(-0.85766166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65423149413128-0.654207776418596)×R²
    abs(-0.34859713--0.34864507)×2.37177126849453e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37177126849453e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37177126849453e-05×40589641000000     		ar = 39922.0531491185m²