Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58263 / 85541
↖ ↑ ↗
← S 48.057889°
W 19.975891°		 ← 204.14 m → S 48.057889°
W 19.973144°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 48.059725°
W 19.975891°		 ← 204.13 m →
41 670 m²		 S 48.059725°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444515228271484 y=0.652629852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444515228271484 × 217)
    floor (0.444515228271484 × 131072)
    floor (58263.5)     		tx = 58263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652629852294922 × 217)
    floor (0.652629852294922 × 131072)
    floor (85541.5)     		ty = 85541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58263 / 85541 ti = "17/58263/85541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58263/85541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58263 ÷ 217
    58263 ÷ 131072     		x = 0.444511413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85541 ÷ 217
    85541 ÷ 131072     		y = 0.652626037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444511413574219 × 2 - 1) × π
    -0.110977172851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34864507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652626037597656 × 2 - 1) × π
    -0.305252075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.958977676899223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34864507} λ = -0.34864507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958977676899223))-π/2
    2×atan(0.383284526374971)-π/2
    2×0.366013961254005-π/2
    0.732027922508011-1.57079632675     		φ = -0.83876840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34864507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.975891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83876840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.057889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58263 KachelY 85541 -0.34864507 -0.83876840 -19.975891 -48.057889
    Oben rechts KachelX + 1 58264 KachelY 85541 -0.34859713 -0.83876840 -19.973144 -48.057889
    Unten links KachelX 58263 KachelY + 1 85542 -0.34864507 -0.83880044 -19.975891 -48.059725
    Unten rechts KachelX + 1 58264 KachelY + 1 85542 -0.34859713 -0.83880044 -19.973144 -48.059725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83876840--0.83880044) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83876840--0.83880044) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.83876840) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668379421859403 × 6371000     		do = 204.140279522283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34864507--0.34859713) × cos(-0.83880044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668355589507258 × 6371000     		du = 204.133000508493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83876840)-sin(-0.83880044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668379421859403-0.668355589507258)×R²
    abs(-0.34859713--0.34864507)×2.38323521453143e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38323521453143e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38323521453143e-05×40589641000000     		ar = 41669.7672580906m²