Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58262 / 86601
↖ ↑ ↗
← S 49.967123°
W 19.978638°		 ← 196.46 m → S 49.967123°
W 19.975891°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
S 49.968889°
W 19.978638°		 ← 196.45 m →
38 587 m²		 S 49.968889°
W 19.975891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444507598876953 y=0.660717010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444507598876953 × 217)
    floor (0.444507598876953 × 131072)
    floor (58262.5)     		tx = 58262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660717010498047 × 217)
    floor (0.660717010498047 × 131072)
    floor (86601.5)     		ty = 86601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58262 / 86601 ti = "17/58262/86601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58262/86601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58262 ÷ 217
    58262 ÷ 131072     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86601 ÷ 217
    86601 ÷ 131072     		y = 0.660713195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660713195800781 × 2 - 1) × π
    -0.321426391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.00979079049648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00979079049648))-π/2
    2×atan(0.364295185614647)-π/2
    2×0.349352759688549-π/2
    0.698705519377098-1.57079632675     		φ = -0.87209081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87209081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.967123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58262 KachelY 86601 -0.34869301 -0.87209081 -19.978638 -49.967123
    Oben rechts KachelX + 1 58263 KachelY 86601 -0.34864507 -0.87209081 -19.975891 -49.967123
    Unten links KachelX 58262 KachelY + 1 86602 -0.34869301 -0.87212164 -19.978638 -49.968889
    Unten rechts KachelX + 1 58263 KachelY + 1 86602 -0.34864507 -0.87212164 -19.975891 -49.968889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87209081--0.87212164) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87209081--0.87212164) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.87209081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643227072394754 × 6371000     		do = 196.4581045743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.87212164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643203466314167 × 6371000     		du = 196.450894669668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87209081)-sin(-0.87212164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643227072394754-0.643203466314167)×R²
    abs(-0.34864507--0.34869301)×2.36060805871574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36060805871574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36060805871574e-05×40589641000000     		ar = 38587.1861580289m²