Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58262 / 85592
↖ ↑ ↗
← S 48.151428°
W 19.978638°		 ← 203.77 m → S 48.151428°
W 19.975891°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 48.153260°
W 19.978638°		 ← 203.76 m →
41 516 m²		 S 48.153260°
W 19.975891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444507598876953 y=0.653018951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444507598876953 × 217)
    floor (0.444507598876953 × 131072)
    floor (58262.5)     		tx = 58262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653018951416016 × 217)
    floor (0.653018951416016 × 131072)
    floor (85592.5)     		ty = 85592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58262 / 85592 ti = "17/58262/85592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58262/85592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58262 ÷ 217
    58262 ÷ 131072     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85592 ÷ 217
    85592 ÷ 131072     		y = 0.65301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961422458779846))-π/2
    2×atan(0.382348623814732)-π/2
    2×0.36519768308828-π/2
    0.73039536617656-1.57079632675     		φ = -0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58262 KachelY 85592 -0.34869301 -0.84040096 -19.978638 -48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 58263 KachelY 85592 -0.34864507 -0.84040096 -19.975891 -48.151428
    Unten links KachelX 58262 KachelY + 1 85593 -0.34869301 -0.84043294 -19.978638 -48.153260
    Unten rechts KachelX + 1 58263 KachelY + 1 85593 -0.34864507 -0.84043294 -19.975891 -48.153260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84040096--0.84043294) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84040096--0.84043294) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.84040096) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 203.769119514186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.84043294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667140377505391 × 6371000     		du = 203.761843483566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84040096)-sin(-0.84043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667140377505391)×R²
    abs(-0.34864507--0.34869301)×2.38225848955276e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38225848955276e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38225848955276e-05×40589641000000     		ar = 41516.1124502221m²