Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58262 / 85542
↖ ↑ ↗
← S 48.059725°
W 19.978638°		 ← 204.13 m → S 48.059725°
W 19.975891°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 48.061561°
W 19.978638°		 ← 204.13 m →
41 668 m²		 S 48.061561°
W 19.975891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444507598876953 y=0.652637481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444507598876953 × 217)
    floor (0.444507598876953 × 131072)
    floor (58262.5)     		tx = 58262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652637481689453 × 217)
    floor (0.652637481689453 × 131072)
    floor (85542.5)     		ty = 85542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58262 / 85542 ti = "17/58262/85542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58262/85542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58262 ÷ 217
    58262 ÷ 131072     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85542 ÷ 217
    85542 ÷ 131072     		y = 0.652633666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652633666992188 × 2 - 1) × π
    -0.305267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.959025613798843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959025613798843))-π/2
    2×atan(0.383266153343481)-π/2
    2×0.365997941521063-π/2
    0.731995883042125-1.57079632675     		φ = -0.83880044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83880044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.059725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58262 KachelY 85542 -0.34869301 -0.83880044 -19.978638 -48.059725
    Oben rechts KachelX + 1 58263 KachelY 85542 -0.34864507 -0.83880044 -19.975891 -48.059725
    Unten links KachelX 58262 KachelY + 1 85543 -0.34869301 -0.83883248 -19.978638 -48.061561
    Unten rechts KachelX + 1 58263 KachelY + 1 85543 -0.34864507 -0.83883248 -19.975891 -48.061561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83880044--0.83883248) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83880044--0.83883248) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.83880044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668355589507258 × 6371000     		do = 204.133000508493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(-0.83883248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668331756469004 × 6371000     		du = 204.125721285148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83880044)-sin(-0.83883248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668355589507258-0.668331756469004)×R²
    abs(-0.34864507--0.34869301)×2.38330382534846e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38330382534846e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38330382534846e-05×40589641000000     		ar = 41668.2813946919m²