Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58262 / 38010
↖ ↑ ↗
← N 60.073063°
W 19.978638°		 ← 152.38 m → N 60.073063°
W 19.975891°		 →
↑
152.33 m
↓
↑
152.33 m
↓
N 60.071693°
W 19.978638°		 ← 152.38 m →
23 212 m²		 N 60.071693°
W 19.975891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444507598876953 y=0.289997100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444507598876953 × 217)
    floor (0.444507598876953 × 131072)
    floor (58262.5)     		tx = 58262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289997100830078 × 217)
    floor (0.289997100830078 × 131072)
    floor (38010.5)     		ty = 38010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58262 / 38010 ti = "17/58262/38010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58262/38010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58262 ÷ 217
    58262 ÷ 131072     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38010 ÷ 217
    38010 ÷ 131072     		y = 0.289993286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289993286132812 × 2 - 1) × π
    0.420013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31951109894167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31951109894167))-π/2
    2×atan(3.74159166189906)-π/2
    2×1.30963453416171-π/2
    2.61926906832342-1.57079632675     		φ = 1.04847274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04847274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.073063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58262 KachelY 38010 -0.34869301 1.04847274 -19.978638 60.073063
    Oben rechts KachelX + 1 58263 KachelY 38010 -0.34864507 1.04847274 -19.975891 60.073063
    Unten links KachelX 58262 KachelY + 1 38011 -0.34869301 1.04844883 -19.978638 60.071693
    Unten rechts KachelX + 1 58263 KachelY + 1 38011 -0.34864507 1.04844883 -19.975891 60.071693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04847274-1.04844883) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dl = 152.330609999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04847274-1.04844883) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dr = 152.330609999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(1.04847274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498895247874363 × 6371000     		do = 152.375450264587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34864507) × cos(1.04844883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498915969627202 × 6371000     		du = 152.381779221282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04847274)-sin(1.04844883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498895247874363-0.498915969627202)×R²
    abs(-0.34864507--0.34869301)×2.07217528386261e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07217528386261e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07217528386261e-05×40589641000000     		ar = 23211.9273357469m²