Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58261 / 86595
↖ ↑ ↗
← S 49.956521°
W 19.981384°		 ← 196.46 m → S 49.956521°
W 19.978638°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.958288°
W 19.981384°		 ← 196.45 m →
38 600 m²		 S 49.958288°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444499969482422 y=0.660671234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444499969482422 × 217)
    floor (0.444499969482422 × 131072)
    floor (58261.5)     		tx = 58261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660671234130859 × 217)
    floor (0.660671234130859 × 131072)
    floor (86595.5)     		ty = 86595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58261 / 86595 ti = "17/58261/86595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58261/86595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58261 ÷ 217
    58261 ÷ 131072     		x = 0.444496154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86595 ÷ 217
    86595 ÷ 131072     		y = 0.660667419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444496154785156 × 2 - 1) × π
    -0.111007690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34874094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660667419433594 × 2 - 1) × π
    -0.321334838867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00950316909876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34874094} λ = -0.34874094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00950316909876))-π/2
    2×atan(0.364399979774916)-π/2
    2×0.349445272809574-π/2
    0.698890545619147-1.57079632675     		φ = -0.87190578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34874094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87190578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.956521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58261 KachelY 86595 -0.34874094 -0.87190578 -19.981384 -49.956521
    Oben rechts KachelX + 1 58262 KachelY 86595 -0.34869301 -0.87190578 -19.978638 -49.956521
    Unten links KachelX 58261 KachelY + 1 86596 -0.34874094 -0.87193662 -19.981384 -49.958288
    Unten rechts KachelX + 1 58262 KachelY + 1 86596 -0.34869301 -0.87193662 -19.978638 -49.958288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87190578--0.87193662) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dl = 196.481640000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87190578--0.87193662) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dr = 196.481640000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.87190578) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643368734316331 × 6371000     		do = 196.460382749258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.87193662) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64334512424959 × 6371000     		du = 196.45317313135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87190578)-sin(-0.87193662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643368734316331-0.64334512424959)×R²
    abs(-0.34869301--0.34874094)×2.36100667405648e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36100667405648e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36100667405648e-05×40589641000000     		ar = 38600.1499219731m²