Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58261 / 85597
↖ ↑ ↗
← S 48.160590°
W 19.981384°		 ← 203.69 m → S 48.160590°
W 19.978638°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
S 48.162421°
W 19.981384°		 ← 203.68 m →
41 487 m²		 S 48.162421°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444499969482422 y=0.653057098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444499969482422 × 217)
    floor (0.444499969482422 × 131072)
    floor (58261.5)     		tx = 58261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653057098388672 × 217)
    floor (0.653057098388672 × 131072)
    floor (85597.5)     		ty = 85597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58261 / 85597 ti = "17/58261/85597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58261/85597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58261 ÷ 217
    58261 ÷ 131072     		x = 0.444496154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85597 ÷ 217
    85597 ÷ 131072     		y = 0.653053283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444496154785156 × 2 - 1) × π
    -0.111007690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34874094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653053283691406 × 2 - 1) × π
    -0.306106567382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.961662143277947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34874094} λ = -0.34874094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961662143277947))-π/2
    2×atan(0.382256991758564)-π/2
    2×0.365117735767703-π/2
    0.730235471535405-1.57079632675     		φ = -0.84056086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34874094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84056086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.160590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58261 KachelY 85597 -0.34874094 -0.84056086 -19.981384 -48.160590
    Oben rechts KachelX + 1 58262 KachelY 85597 -0.34869301 -0.84056086 -19.978638 -48.160590
    Unten links KachelX 58261 KachelY + 1 85598 -0.34874094 -0.84059283 -19.981384 -48.162421
    Unten rechts KachelX + 1 58262 KachelY + 1 85598 -0.34869301 -0.84059283 -19.978638 -48.162421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84056086--0.84059283) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84056086--0.84059283) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.84056086) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667045080343072 × 6371000     		do = 203.690239834962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.84059283) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667021261797316 × 6371000     		du = 203.682966555479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84056086)-sin(-0.84059283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667045080343072-0.667021261797316)×R²
    abs(-0.34869301--0.34874094)×2.38185457552831e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38185457552831e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38185457552831e-05×40589641000000     		ar = 41487.0645496484m²