Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58261 / 85500
↖ ↑ ↗
← S 47.982568°
W 19.981384°		 ← 204.40 m → S 47.982568°
W 19.978638°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 47.984407°
W 19.981384°		 ← 204.39 m →
41 787 m²		 S 47.984407°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444499969482422 y=0.652317047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444499969482422 × 217)
    floor (0.444499969482422 × 131072)
    floor (58261.5)     		tx = 58261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652317047119141 × 217)
    floor (0.652317047119141 × 131072)
    floor (85500.5)     		ty = 85500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58261 / 85500 ti = "17/58261/85500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58261/85500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58261 ÷ 217
    58261 ÷ 131072     		x = 0.444496154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85500 ÷ 217
    85500 ÷ 131072     		y = 0.652313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444496154785156 × 2 - 1) × π
    -0.111007690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34874094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.30462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.957012264014801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34874094} λ = -0.34874094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957012264014801))-π/2
    2×atan(0.384038579491631)-π/2
    2×0.366671262167235-π/2
    0.73334252433447-1.57079632675     		φ = -0.83745380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34874094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83745380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.982568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58261 KachelY 85500 -0.34874094 -0.83745380 -19.981384 -47.982568
    Oben rechts KachelX + 1 58262 KachelY 85500 -0.34869301 -0.83745380 -19.978638 -47.982568
    Unten links KachelX 58261 KachelY + 1 85501 -0.34874094 -0.83748589 -19.981384 -47.984407
    Unten rechts KachelX + 1 58262 KachelY + 1 85501 -0.34869301 -0.83748589 -19.978638 -47.984407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83745380--0.83748589) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dl = 204.445389999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83745380--0.83748589) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dr = 204.445389999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.83745380) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669356670480249 × 6371000     		do = 204.396111691778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(-0.83748589) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66933282915205 × 6371000     		du = 204.388831455402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83745380)-sin(-0.83748589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669356670480249-0.66933282915205)×R²
    abs(-0.34869301--0.34874094)×2.38413281989924e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38413281989924e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38413281989924e-05×40589641000000     		ar = 41787.0985674826m²