Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58261 / 38009
↖ ↑ ↗
← N 60.074433°
W 19.981384°		 ← 152.34 m → N 60.074433°
W 19.978638°		 →
↑
152.39 m
↓
↑
152.39 m
↓
N 60.073063°
W 19.981384°		 ← 152.34 m →
23 216 m²		 N 60.073063°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444499969482422 y=0.289989471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444499969482422 × 217)
    floor (0.444499969482422 × 131072)
    floor (58261.5)     		tx = 58261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289989471435547 × 217)
    floor (0.289989471435547 × 131072)
    floor (38009.5)     		ty = 38009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58261 / 38009 ti = "17/58261/38009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58261/38009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58261 ÷ 217
    58261 ÷ 131072     		x = 0.444496154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38009 ÷ 217
    38009 ÷ 131072     		y = 0.289985656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444496154785156 × 2 - 1) × π
    -0.111007690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34874094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289985656738281 × 2 - 1) × π
    0.420028686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.31955903584129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34874094} λ = -0.34874094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31955903584129))-π/2
    2×atan(3.74177102650203)-π/2
    2×1.309646491659-π/2
    2.61929298331799-1.57079632675     		φ = 1.04849666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34874094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04849666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.074433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58261 KachelY 38009 -0.34874094 1.04849666 -19.981384 60.074433
    Oben rechts KachelX + 1 58262 KachelY 38009 -0.34869301 1.04849666 -19.978638 60.074433
    Unten links KachelX 58261 KachelY + 1 38010 -0.34874094 1.04847274 -19.981384 60.073063
    Unten rechts KachelX + 1 58262 KachelY + 1 38010 -0.34869301 1.04847274 -19.978638 60.073063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04849666-1.04847274) × R
    2.39200000000661e-05 × 6371000     		dl = 152.394320000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04849666-1.04847274) × R
    2.39200000000661e-05 × 6371000     		dr = 152.394320000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(1.04849666) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.49887451716957 × 6371000     		do = 152.337335278087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34874094--0.34869301) × cos(1.04847274) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.498895247874363 × 6371000     		du = 152.343665648186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04849666)-sin(1.04847274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49887451716957-0.498895247874363)×R²
    abs(-0.34869301--0.34874094)×2.07307047934147e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07307047934147e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07307047934147e-05×40589641000000     		ar = 23215.8269778531m²