Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58260 / 38011
↖ ↑ ↗
← N 60.071693°
W 19.984131°		 ← 152.38 m → N 60.071693°
W 19.981384°		 →
↑
152.39 m
↓
↑
152.39 m
↓
N 60.070322°
W 19.984131°		 ← 152.39 m →
23 223 m²		 N 60.070322°
W 19.981384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444492340087891 y=0.290004730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444492340087891 × 217)
    floor (0.444492340087891 × 131072)
    floor (58260.5)     		tx = 58260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290004730224609 × 217)
    floor (0.290004730224609 × 131072)
    floor (38011.5)     		ty = 38011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58260 / 38011 ti = "17/58260/38011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58260/38011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58260 ÷ 217
    58260 ÷ 131072     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38011 ÷ 217
    38011 ÷ 131072     		y = 0.290000915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290000915527344 × 2 - 1) × π
    0.419998168945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.31946316204205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31946316204205))-π/2
    2×atan(3.74141230589407)-π/2
    2×1.30962257616764-π/2
    2.61924515233527-1.57079632675     		φ = 1.04844883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04844883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.071693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58260 KachelY 38011 -0.34878888 1.04844883 -19.984131 60.071693
    Oben rechts KachelX + 1 58261 KachelY 38011 -0.34874094 1.04844883 -19.981384 60.071693
    Unten links KachelX 58260 KachelY + 1 38012 -0.34878888 1.04842491 -19.984131 60.070322
    Unten rechts KachelX + 1 58261 KachelY + 1 38012 -0.34874094 1.04842491 -19.981384 60.070322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04844883-1.04842491) × R
    2.39200000000661e-05 × 6371000     		dl = 152.394320000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04844883-1.04842491) × R
    2.39200000000661e-05 × 6371000     		dr = 152.394320000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34874094) × cos(1.04844883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498915969627202 × 6371000     		do = 152.381779221282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34874094) × cos(1.04842491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.498936699761201 × 6371000     		du = 152.388110737799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04844883)-sin(1.04842491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498915969627202-0.498936699761201)×R²
    abs(-0.34874094--0.34878888)×2.07301339987254e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07301339987254e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07301339987254e-05×40589641000000     		ar = 23222.6000695015m²