Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58259 / 86593
↖ ↑ ↗
← S 49.952987°
W 19.986878°		 ← 196.52 m → S 49.952987°
W 19.984131°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.954754°
W 19.986878°		 ← 196.51 m →
38 611 m²		 S 49.954754°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444484710693359 y=0.660655975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444484710693359 × 217)
    floor (0.444484710693359 × 131072)
    floor (58259.5)     		tx = 58259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660655975341797 × 217)
    floor (0.660655975341797 × 131072)
    floor (86593.5)     		ty = 86593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58259 / 86593 ti = "17/58259/86593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58259/86593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58259 ÷ 217
    58259 ÷ 131072     		x = 0.444480895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86593 ÷ 217
    86593 ÷ 131072     		y = 0.660652160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444480895996094 × 2 - 1) × π
    -0.111038208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34883682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660652160644531 × 2 - 1) × π
    -0.321304321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00940729529952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34883682} λ = -0.34883682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00940729529952))-π/2
    2×atan(0.364434917860216)-π/2
    2×0.349476115043793-π/2
    0.698952230087587-1.57079632675     		φ = -0.87184410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34883682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.986878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87184410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.952987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58259 KachelY 86593 -0.34883682 -0.87184410 -19.986878 -49.952987
    Oben rechts KachelX + 1 58260 KachelY 86593 -0.34878888 -0.87184410 -19.984131 -49.952987
    Unten links KachelX 58259 KachelY + 1 86594 -0.34883682 -0.87187494 -19.986878 -49.954754
    Unten rechts KachelX + 1 58260 KachelY + 1 86594 -0.34878888 -0.87187494 -19.984131 -49.954754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87184410--0.87187494) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87184410--0.87187494) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34883682--0.34878888) × cos(-0.87184410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643415952614054 × 6371000     		do = 196.515793454824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34883682--0.34878888) × cos(-0.87187494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64339234377116 × 6371000     		du = 196.508582706512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87184410)-sin(-0.87187494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643415952614054-0.64339234377116)×R²
    abs(-0.34878888--0.34883682)×2.36088428947623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36088428947623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36088428947623e-05×40589641000000     		ar = 38611.0369971515m²