Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58258 / 85874
↖ ↑ ↗
← S 48.665571°
W 19.989624°		 ← 201.72 m → S 48.665571°
W 19.986878°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 48.667385°
W 19.989624°		 ← 201.71 m →
40 674 m²		 S 48.667385°
W 19.986878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444477081298828 y=0.655170440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444477081298828 × 217)
    floor (0.444477081298828 × 131072)
    floor (58258.5)     		tx = 58258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655170440673828 × 217)
    floor (0.655170440673828 × 131072)
    floor (85874.5)     		ty = 85874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58258 / 85874 ti = "17/58258/85874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58258/85874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58258 ÷ 217
    58258 ÷ 131072     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85874 ÷ 217
    85874 ÷ 131072     		y = 0.655166625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655166625976562 × 2 - 1) × π
    -0.310333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.974940664472702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974940664472702))-π/2
    2×atan(0.377214735134353)-π/2
    2×0.360710940658074-π/2
    0.721421881316149-1.57079632675     		φ = -0.84937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.665571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58258 KachelY 85874 -0.34888476 -0.84937445 -19.989624 -48.665571
    Oben rechts KachelX + 1 58259 KachelY 85874 -0.34883682 -0.84937445 -19.986878 -48.665571
    Unten links KachelX 58258 KachelY + 1 85875 -0.34888476 -0.84940610 -19.989624 -48.667385
    Unten rechts KachelX + 1 58259 KachelY + 1 85875 -0.34883682 -0.84940610 -19.986878 -48.667385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84937445--0.84940610) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84937445--0.84940610) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34883682) × cos(-0.84937445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660452980181844 × 6371000     		do = 201.719340207346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34883682) × cos(-0.84940610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660429214897662 × 6371000     		du = 201.712081677839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84937445)-sin(-0.84940610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660452980181844-0.660429214897662)×R²
    abs(-0.34883682--0.34888476)×2.37652841822422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37652841822422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37652841822422e-05×40589641000000     		ar = 40674.389646832m²