Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58258 / 36035
↖ ↑ ↗
← N 62.670361°
W 19.989624°		 ← 140.22 m → N 62.670361°
W 19.986878°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 62.669100°
W 19.989624°		 ← 140.23 m →
19 663 m²		 N 62.669100°
W 19.986878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444477081298828 y=0.274929046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444477081298828 × 217)
    floor (0.444477081298828 × 131072)
    floor (58258.5)     		tx = 58258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274929046630859 × 217)
    floor (0.274929046630859 × 131072)
    floor (36035.5)     		ty = 36035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58258 / 36035 ti = "17/58258/36035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58258/36035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58258 ÷ 217
    58258 ÷ 131072     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36035 ÷ 217
    36035 ÷ 131072     		y = 0.274925231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274925231933594 × 2 - 1) × π
    0.450149536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.41418647569128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41418647569128))-π/2
    2×atan(4.11313896598759)-π/2
    2×1.33230023172432-π/2
    2.66460046344864-1.57079632675     		φ = 1.09380414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09380414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.670361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58258 KachelY 36035 -0.34888476 1.09380414 -19.989624 62.670361
    Oben rechts KachelX + 1 58259 KachelY 36035 -0.34883682 1.09380414 -19.986878 62.670361
    Unten links KachelX 58258 KachelY + 1 36036 -0.34888476 1.09378213 -19.989624 62.669100
    Unten rechts KachelX + 1 58259 KachelY + 1 36036 -0.34883682 1.09378213 -19.986878 62.669100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09380414-1.09378213) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09380414-1.09378213) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34883682) × cos(1.09380414) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.459109175679894 × 6371000     		do = 140.223759722892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34883682) × cos(1.09378213) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		du = 140.229731751902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09380414)-sin(1.09378213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459109175679894-0.459128728809272)×R²
    abs(-0.34883682--0.34888476)×1.95531293772921e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95531293772921e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95531293772921e-05×40589641000000     		ar = 19663.3949829379m²