Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58257 / 85649
↖ ↑ ↗
← S 48.255770°
W 19.992370°		 ← 203.31 m → S 48.255770°
W 19.989624°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 48.257598°
W 19.992370°		 ← 203.30 m →
41 332 m²		 S 48.257598°
W 19.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444469451904297 y=0.653453826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444469451904297 × 217)
    floor (0.444469451904297 × 131072)
    floor (58257.5)     		tx = 58257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653453826904297 × 217)
    floor (0.653453826904297 × 131072)
    floor (85649.5)     		ty = 85649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58257 / 85649 ti = "17/58257/85649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58257/85649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58257 ÷ 217
    58257 ÷ 131072     		x = 0.444465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85649 ÷ 217
    85649 ÷ 131072     		y = 0.653450012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444465637207031 × 2 - 1) × π
    -0.111068725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34893269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653450012207031 × 2 - 1) × π
    -0.306900024414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.964154862058189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34893269} λ = -0.34893269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964154862058189))-π/2
    2×atan(0.381305319195143)-π/2
    2×0.364287129752065-π/2
    0.728574259504129-1.57079632675     		φ = -0.84222207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34893269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.992370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84222207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.255770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58257 KachelY 85649 -0.34893269 -0.84222207 -19.992370 -48.255770
    Oben rechts KachelX + 1 58258 KachelY 85649 -0.34888476 -0.84222207 -19.989624 -48.255770
    Unten links KachelX 58257 KachelY + 1 85650 -0.34893269 -0.84225398 -19.992370 -48.257598
    Unten rechts KachelX + 1 58258 KachelY + 1 85650 -0.34888476 -0.84225398 -19.989624 -48.257598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84222207--0.84225398) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dl = 203.298609999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84222207--0.84225398) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dr = 203.298609999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34893269--0.34888476) × cos(-0.84222207) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665806530235473 × 6371000     		do = 203.312033659849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34893269--0.34888476) × cos(-0.84225398) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665782721065953 × 6371000     		du = 203.304763243512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84222207)-sin(-0.84225398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665806530235473-0.665782721065953)×R²
    abs(-0.34888476--0.34893269)×2.38091695192733e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38091695192733e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38091695192733e-05×40589641000000     		ar = 41332.3148099967m²