Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58257 / 29331
↖ ↑ ↗
← N 70.002749°
W 19.992370°		 ← 104.43 m → N 70.002749°
W 19.989624°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.001810°
W 19.992370°		 ← 104.43 m →
10 905 m²		 N 70.001810°
W 19.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444469451904297 y=0.223781585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444469451904297 × 217)
    floor (0.444469451904297 × 131072)
    floor (58257.5)     		tx = 58257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223781585693359 × 217)
    floor (0.223781585693359 × 131072)
    floor (29331.5)     		ty = 29331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58257 / 29331 ti = "17/58257/29331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58257/29331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58257 ÷ 217
    58257 ÷ 131072     		x = 0.444465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29331 ÷ 217
    29331 ÷ 131072     		y = 0.223777770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444465637207031 × 2 - 1) × π
    -0.111068725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34893269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223777770996094 × 2 - 1) × π
    0.552444458007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73555545074413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34893269} λ = -0.34893269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73555545074413))-π/2
    2×atan(5.67207748863845)-π/2
    2×1.39628739068801-π/2
    2.79257478137601-1.57079632675     		φ = 1.22177845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34893269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.992370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22177845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.002749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58257 KachelY 29331 -0.34893269 1.22177845 -19.992370 70.002749
    Oben rechts KachelX + 1 58258 KachelY 29331 -0.34888476 1.22177845 -19.989624 70.002749
    Unten links KachelX 58257 KachelY + 1 29332 -0.34893269 1.22176206 -19.992370 70.001810
    Unten rechts KachelX + 1 58258 KachelY + 1 29332 -0.34888476 1.22176206 -19.989624 70.001810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22177845-1.22176206) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dl = 104.420689999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22177845-1.22176206) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dr = 104.420689999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34893269--0.34888476) × cos(1.22177845) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.34197506249047 × 6371000     		do = 104.42619929141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34893269--0.34888476) × cos(1.22176206) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.341990464275499 × 6371000     		du = 104.430902411752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22177845)-sin(1.22176206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34197506249047-0.341990464275499)×R²
    abs(-0.34888476--0.34893269)×1.54017850295673e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54017850295673e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54017850295673e-05×40589641000000     		ar = 10904.5013357699m²