Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58256 / 39058
↖ ↑ ↗
← N 58.605472°
W 19.995117°		 ← 159.10 m → N 58.605472°
W 19.992370°		 →
↑
159.08 m
↓
↑
159.08 m
↓
N 58.604042°
W 19.995117°		 ← 159.11 m →
25 312 m²		 N 58.604042°
W 19.992370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444461822509766 y=0.297992706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444461822509766 × 217)
    floor (0.444461822509766 × 131072)
    floor (58256.5)     		tx = 58256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297992706298828 × 217)
    floor (0.297992706298828 × 131072)
    floor (39058.5)     		ty = 39058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58256 / 39058 ti = "17/58256/39058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58256/39058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58256 ÷ 217
    58256 ÷ 131072     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39058 ÷ 217
    39058 ÷ 131072     		y = 0.297988891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297988891601562 × 2 - 1) × π
    0.404022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26927322813985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26927322813985))-π/2
    2×atan(3.55826557510369)-π/2
    2×1.29682738847535-π/2
    2.59365477695071-1.57079632675     		φ = 1.02285845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02285845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.605472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58256 KachelY 39058 -0.34898063 1.02285845 -19.995117 58.605472
    Oben rechts KachelX + 1 58257 KachelY 39058 -0.34893269 1.02285845 -19.992370 58.605472
    Unten links KachelX 58256 KachelY + 1 39059 -0.34898063 1.02283348 -19.995117 58.604042
    Unten rechts KachelX + 1 58257 KachelY + 1 39059 -0.34893269 1.02283348 -19.992370 58.604042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02285845-1.02283348) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dl = 159.083869999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02285845-1.02283348) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dr = 159.083869999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34893269) × cos(1.02285845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52092810825207 × 6371000     		do = 159.104852949768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34893269) × cos(1.02283348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.520949422495505 × 6371000     		du = 159.111362868342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02285845)-sin(1.02283348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52092810825207-0.520949422495505)×R²
    abs(-0.34893269--0.34898063)×2.13142434349889e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13142434349889e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13142434349889e-05×40589641000000     		ar = 25311.5335557957m²