Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58256 / 29329
↖ ↑ ↗
← N 70.004627°
W 19.995117°		 ← 104.44 m → N 70.004627°
W 19.992370°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.003688°
W 19.995117°		 ← 104.44 m →
10 906 m²		 N 70.003688°
W 19.992370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444461822509766 y=0.223766326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444461822509766 × 217)
    floor (0.444461822509766 × 131072)
    floor (58256.5)     		tx = 58256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223766326904297 × 217)
    floor (0.223766326904297 × 131072)
    floor (29329.5)     		ty = 29329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58256 / 29329 ti = "17/58256/29329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58256/29329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58256 ÷ 217
    58256 ÷ 131072     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29329 ÷ 217
    29329 ÷ 131072     		y = 0.223762512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223762512207031 × 2 - 1) × π
    0.552474975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.73565132454337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73565132454337))-π/2
    2×atan(5.67262131832597)-π/2
    2×1.3963037831736-π/2
    2.7926075663472-1.57079632675     		φ = 1.22181124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22181124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.004627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58256 KachelY 29329 -0.34898063 1.22181124 -19.995117 70.004627
    Oben rechts KachelX + 1 58257 KachelY 29329 -0.34893269 1.22181124 -19.992370 70.004627
    Unten links KachelX 58256 KachelY + 1 29330 -0.34898063 1.22179485 -19.995117 70.003688
    Unten rechts KachelX + 1 58257 KachelY + 1 29330 -0.34893269 1.22179485 -19.992370 70.003688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22181124-1.22179485) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22181124-1.22179485) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34893269) × cos(1.22181124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341944249247616 × 6371000     		do = 104.43857536525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34893269) × cos(1.22179485) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341959651216428 × 6371000     		du = 104.443279522972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22181124)-sin(1.22179485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341944249247616-0.341959651216428)×R²
    abs(-0.34893269--0.34898063)×1.54019688126117e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54019688126117e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54019688126117e-05×40589641000000     		ar = 10905.7937082574m²