Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58255 / 86545
↖ ↑ ↗
← S 49.868087°
W 19.997864°		 ← 196.86 m → S 49.868087°
W 19.995117°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 49.869857°
W 19.997864°		 ← 196.85 m →
38 754 m²		 S 49.869857°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444454193115234 y=0.660289764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444454193115234 × 217)
    floor (0.444454193115234 × 131072)
    floor (58255.5)     		tx = 58255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660289764404297 × 217)
    floor (0.660289764404297 × 131072)
    floor (86545.5)     		ty = 86545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58255 / 86545 ti = "17/58255/86545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58255/86545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58255 ÷ 217
    58255 ÷ 131072     		x = 0.444450378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86545 ÷ 217
    86545 ÷ 131072     		y = 0.660285949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444450378417969 × 2 - 1) × π
    -0.111099243164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34902857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660285949707031 × 2 - 1) × π
    -0.320571899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00710632411776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34902857} λ = -0.34902857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00710632411776))-π/2
    2×atan(0.365274437588791)-π/2
    2×0.350217007882966-π/2
    0.700434015765933-1.57079632675     		φ = -0.87036231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34902857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.997864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87036231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.868087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58255 KachelY 86545 -0.34902857 -0.87036231 -19.997864 -49.868087
    Oben rechts KachelX + 1 58256 KachelY 86545 -0.34898063 -0.87036231 -19.995117 -49.868087
    Unten links KachelX 58255 KachelY + 1 86546 -0.34902857 -0.87039321 -19.997864 -49.869857
    Unten rechts KachelX + 1 58256 KachelY + 1 86546 -0.34898063 -0.87039321 -19.995117 -49.869857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87036231--0.87039321) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87036231--0.87039321) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34902857--0.34898063) × cos(-0.87036231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644549580906168 × 6371000     		do = 196.862032714827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34902857--0.34898063) × cos(-0.87039321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		du = 196.854816943333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87036231)-sin(-0.87039321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644549580906168-0.644525955616779)×R²
    abs(-0.34898063--0.34902857)×2.36252893888178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36252893888178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36252893888178e-05×40589641000000     		ar = 38754.317262851m²