Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58254 / 29267
↖ ↑ ↗
← N 70.062775°
W 20.000610°		 ← 104.13 m → N 70.062775°
W 19.997864°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
N 70.061838°
W 20.000610°		 ← 104.13 m →
10 847 m²		 N 70.061838°
W 19.997864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444446563720703 y=0.223293304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444446563720703 × 217)
    floor (0.444446563720703 × 131072)
    floor (58254.5)     		tx = 58254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223293304443359 × 217)
    floor (0.223293304443359 × 131072)
    floor (29267.5)     		ty = 29267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58254 / 29267 ti = "17/58254/29267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58254/29267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58254 ÷ 217
    58254 ÷ 131072     		x = 0.444442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29267 ÷ 217
    29267 ÷ 131072     		y = 0.223289489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    -0.111114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34907650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223289489746094 × 2 - 1) × π
    0.553421020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73862341231982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34907650} λ = -0.34907650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73862341231982))-π/2
    2×atan(5.68950592564516)-π/2
    2×1.39681121830313-π/2
    2.79362243660626-1.57079632675     		φ = 1.22282611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34907650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22282611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.062775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58254 KachelY 29267 -0.34907650 1.22282611 -20.000610 70.062775
    Oben rechts KachelX + 1 58255 KachelY 29267 -0.34902857 1.22282611 -19.997864 70.062775
    Unten links KachelX 58254 KachelY + 1 29268 -0.34907650 1.22280976 -20.000610 70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 58255 KachelY + 1 29268 -0.34902857 1.22280976 -19.997864 70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22282611-1.22280976) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dl = 104.165849999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22282611-1.22280976) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dr = 104.165849999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34907650--0.34902857) × cos(1.22282611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340990379436225 × 6371000     		do = 104.12551447518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34907650--0.34902857) × cos(1.22280976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 104.130207903739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22282611)-sin(1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340990379436225-0.341005749482589)×R²
    abs(-0.34902857--0.34907650)×1.53700463643713e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53700463643713e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53700463643713e-05×40589641000000     		ar = 10846.5671696346m²