Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58253 / 39062
↖ ↑ ↗
← N 58.599749°
W 20.003357°		 ← 159.13 m → N 58.599749°
W 20.000610°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.598318°
W 20.003357°		 ← 159.14 m →
25 326 m²		 N 58.598318°
W 20.000610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444438934326172 y=0.298023223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444438934326172 × 217)
    floor (0.444438934326172 × 131072)
    floor (58253.5)     		tx = 58253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298023223876953 × 217)
    floor (0.298023223876953 × 131072)
    floor (39062.5)     		ty = 39062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58253 / 39062 ti = "17/58253/39062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58253/39062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58253 ÷ 217
    58253 ÷ 131072     		x = 0.444435119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39062 ÷ 217
    39062 ÷ 131072     		y = 0.298019409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444435119628906 × 2 - 1) × π
    -0.111129760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34912444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298019409179688 × 2 - 1) × π
    0.403961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26908148054137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34912444} λ = -0.34912444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26908148054137))-π/2
    2×atan(3.55758335163435)-π/2
    2×1.2967774410311-π/2
    2.59355488206219-1.57079632675     		φ = 1.02275856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34912444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.003357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02275856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.599749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58253 KachelY 39062 -0.34912444 1.02275856 -20.003357 58.599749
    Oben rechts KachelX + 1 58254 KachelY 39062 -0.34907650 1.02275856 -20.000610 58.599749
    Unten links KachelX 58253 KachelY + 1 39063 -0.34912444 1.02273358 -20.003357 58.598318
    Unten rechts KachelX + 1 58254 KachelY + 1 39063 -0.34907650 1.02273358 -20.000610 58.598318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02275856-1.02273358) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dl = 159.147580000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02275856-1.02273358) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dr = 159.147580000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34912444--0.34907650) × cos(1.02275856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521013371812368 × 6371000     		do = 159.130894635583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34912444--0.34907650) × cos(1.02273358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521034693291698 × 6371000     		du = 159.137406764186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02275856)-sin(1.02273358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521013371812368-0.521034693291698)×R²
    abs(-0.34907650--0.34912444)×2.13214793306493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13214793306493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13214793306493e-05×40589641000000     		ar = 25325.8149807398m²