Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58251 / 81483
↖ ↑ ↗
← S 40.067563°
W 20.008850°		 ← 233.69 m → S 40.067563°
W 20.006104°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 40.069665°
W 20.008850°		 ← 233.68 m →
54 624 m²		 S 40.069665°
W 20.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444423675537109 y=0.621669769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444423675537109 × 217)
    floor (0.444423675537109 × 131072)
    floor (58251.5)     		tx = 58251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621669769287109 × 217)
    floor (0.621669769287109 × 131072)
    floor (81483.5)     		ty = 81483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58251 / 81483 ti = "17/58251/81483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58251/81483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58251 ÷ 217
    58251 ÷ 131072     		x = 0.444419860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81483 ÷ 217
    81483 ÷ 131072     		y = 0.621665954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444419860839844 × 2 - 1) × π
    -0.111160278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34922031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621665954589844 × 2 - 1) × π
    -0.243331909179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.764449738241035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34922031} λ = -0.34922031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764449738241035))-π/2
    2×atan(0.465590056903367)-π/2
    2×0.435742717789941-π/2
    0.871485435579882-1.57079632675     		φ = -0.69931089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34922031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.008850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69931089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.067563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58251 KachelY 81483 -0.34922031 -0.69931089 -20.008850 -40.067563
    Oben rechts KachelX + 1 58252 KachelY 81483 -0.34917238 -0.69931089 -20.006104 -40.067563
    Unten links KachelX 58251 KachelY + 1 81484 -0.34922031 -0.69934758 -20.008850 -40.069665
    Unten rechts KachelX + 1 58252 KachelY + 1 81484 -0.34917238 -0.69934758 -20.006104 -40.069665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69931089--0.69934758) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69931089--0.69934758) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34922031--0.34917238) × cos(-0.69931089) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.765285942498516 × 6371000     		do = 233.689268931683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34922031--0.34917238) × cos(-0.69934758) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.765262324979936 × 6371000     		du = 233.682057038265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69931089)-sin(-0.69934758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765285942498516-0.765262324979936)×R²
    abs(-0.34917238--0.34922031)×2.36175185799326e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36175185799326e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36175185799326e-05×40589641000000     		ar = 54624.4887632379m²