Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58250 / 86598
↖ ↑ ↗
← S 49.961822°
W 20.011597°		 ← 196.48 m → S 49.961822°
W 20.008850°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.963589°
W 20.011597°		 ← 196.47 m →
38 604 m²		 S 49.963589°
W 20.008850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444416046142578 y=0.660694122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444416046142578 × 217)
    floor (0.444416046142578 × 131072)
    floor (58250.5)     		tx = 58250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660694122314453 × 217)
    floor (0.660694122314453 × 131072)
    floor (86598.5)     		ty = 86598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58250 / 86598 ti = "17/58250/86598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58250/86598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58250 ÷ 217
    58250 ÷ 131072     		x = 0.444412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86598 ÷ 217
    86598 ÷ 131072     		y = 0.660690307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444412231445312 × 2 - 1) × π
    -0.111175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34926825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660690307617188 × 2 - 1) × π
    -0.321380615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00964697979762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34926825} λ = -0.34926825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00964697979762))-π/2
    2×atan(0.364347578927151)-π/2
    2×0.349399013702551-π/2
    0.698798027405101-1.57079632675     		φ = -0.87199830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34926825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87199830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.961822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58250 KachelY 86598 -0.34926825 -0.87199830 -20.011597 -49.961822
    Oben rechts KachelX + 1 58251 KachelY 86598 -0.34922031 -0.87199830 -20.008850 -49.961822
    Unten links KachelX 58250 KachelY + 1 86599 -0.34926825 -0.87202914 -20.011597 -49.963589
    Unten rechts KachelX + 1 58251 KachelY + 1 86599 -0.34922031 -0.87202914 -20.008850 -49.963589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87199830--0.87202914) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87199830--0.87202914) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34926825--0.34922031) × cos(-0.87199830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		do = 196.479737844557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34926825--0.34922031) × cos(-0.87202914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643274290378124 × 6371000     		du = 196.472526161812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87199830)-sin(-0.87202914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643297902280464-0.643274290378124)×R²
    abs(-0.34922031--0.34926825)×2.36119023405701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36119023405701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36119023405701e-05×40589641000000     		ar = 38603.9526398396m²