Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58250 / 85529
↖ ↑ ↗
← S 48.035856°
W 20.011597°		 ← 204.23 m → S 48.035856°
W 20.008850°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 48.037692°
W 20.011597°		 ← 204.22 m →
41 701 m²		 S 48.037692°
W 20.008850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444416046142578 y=0.652538299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444416046142578 × 217)
    floor (0.444416046142578 × 131072)
    floor (58250.5)     		tx = 58250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652538299560547 × 217)
    floor (0.652538299560547 × 131072)
    floor (85529.5)     		ty = 85529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58250 / 85529 ti = "17/58250/85529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58250/85529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58250 ÷ 217
    58250 ÷ 131072     		x = 0.444412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85529 ÷ 217
    85529 ÷ 131072     		y = 0.652534484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444412231445312 × 2 - 1) × π
    -0.111175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34926825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652534484863281 × 2 - 1) × π
    -0.305068969726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.958402434103783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34926825} λ = -0.34926825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958402434103783))-π/2
    2×atan(0.383505071464778)-π/2
    2×0.366206242605361-π/2
    0.732412485210722-1.57079632675     		φ = -0.83838384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34926825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83838384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.035856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58250 KachelY 85529 -0.34926825 -0.83838384 -20.011597 -48.035856
    Oben rechts KachelX + 1 58251 KachelY 85529 -0.34922031 -0.83838384 -20.008850 -48.035856
    Unten links KachelX 58250 KachelY + 1 85530 -0.34926825 -0.83841589 -20.011597 -48.037692
    Unten rechts KachelX + 1 58251 KachelY + 1 85530 -0.34922031 -0.83841589 -20.008850 -48.037692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83838384--0.83841589) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dl = 204.19055000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83838384--0.83841589) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dr = 204.19055000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34926825--0.34922031) × cos(-0.83838384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66866541604488 × 6371000     		do = 204.227629508018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34926825--0.34922031) × cos(-0.83841589) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668641584493806 × 6371000     		du = 204.220350738896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83838384)-sin(-0.83841589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66866541604488-0.668641584493806)×R²
    abs(-0.34922031--0.34926825)×2.38315510736609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38315510736609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38315510736609e-05×40589641000000     		ar = 41700.6088701203m²