Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58248 / 35784
↖ ↑ ↗
← N 62.985180°
W 20.017090°		 ← 138.70 m → N 62.985180°
W 20.014343°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 62.983932°
W 20.017090°		 ← 138.71 m →
19 247 m²		 N 62.983932°
W 20.014343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444400787353516 y=0.273014068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444400787353516 × 217)
    floor (0.444400787353516 × 131072)
    floor (58248.5)     		tx = 58248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273014068603516 × 217)
    floor (0.273014068603516 × 131072)
    floor (35784.5)     		ty = 35784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58248 / 35784 ti = "17/58248/35784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58248/35784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58248 ÷ 217
    58248 ÷ 131072     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35784 ÷ 217
    35784 ÷ 131072     		y = 0.27301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27301025390625 × 2 - 1) × π
    0.4539794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42621863749591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42621863749591))-π/2
    2×atan(4.16292785285061)-π/2
    2×1.33504754639041-π/2
    2.67009509278082-1.57079632675     		φ = 1.09929877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09929877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.985180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58248 KachelY 35784 -0.34936412 1.09929877 -20.017090 62.985180
    Oben rechts KachelX + 1 58249 KachelY 35784 -0.34931619 1.09929877 -20.014343 62.985180
    Unten links KachelX 58248 KachelY + 1 35785 -0.34936412 1.09927699 -20.017090 62.983932
    Unten rechts KachelX + 1 58249 KachelY + 1 35785 -0.34931619 1.09927699 -20.014343 62.983932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09929877-1.09927699) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dl = 138.760380001232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09929877-1.09927699) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dr = 138.760380001232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34931619) × cos(1.09929877) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.454220951189522 × 6371000     		do = 138.701831723688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34931619) × cos(1.09927699) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.454240354645639 × 6371000     		du = 138.707756802437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09929877)-sin(1.09927699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454220951189522-0.454240354645639)×R²
    abs(-0.34931619--0.34936412)×1.94034561170064e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94034561170064e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94034561170064e-05×40589641000000     		ar = 19246.7299606245m²