Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58247 / 38551
↖ ↑ ↗
← N 59.323382°
W 20.019836°		 ← 155.83 m → N 59.323382°
W 20.017090°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.321981°
W 20.019836°		 ← 155.83 m →
24 284 m²		 N 59.321981°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444393157958984 y=0.294124603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444393157958984 × 217)
    floor (0.444393157958984 × 131072)
    floor (58247.5)     		tx = 58247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294124603271484 × 217)
    floor (0.294124603271484 × 131072)
    floor (38551.5)     		ty = 38551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58247 / 38551 ti = "17/58247/38551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58247/38551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58247 ÷ 217
    58247 ÷ 131072     		x = 0.444389343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38551 ÷ 217
    38551 ÷ 131072     		y = 0.294120788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444389343261719 × 2 - 1) × π
    -0.111221313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34941206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294120788574219 × 2 - 1) × π
    0.411758422851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.29357723624722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34941206} λ = -0.34941206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29357723624722))-π/2
    2×atan(3.64580516293235)-π/2
    2×1.30309233176531-π/2
    2.60618466353062-1.57079632675     		φ = 1.03538834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34941206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.019836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03538834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.323382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58247 KachelY 38551 -0.34941206 1.03538834 -20.019836 59.323382
    Oben rechts KachelX + 1 58248 KachelY 38551 -0.34936412 1.03538834 -20.017090 59.323382
    Unten links KachelX 58247 KachelY + 1 38552 -0.34941206 1.03536388 -20.019836 59.321981
    Unten rechts KachelX + 1 58248 KachelY + 1 38552 -0.34936412 1.03536388 -20.017090 59.321981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03538834-1.03536388) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dl = 155.834659999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03538834-1.03536388) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dr = 155.834659999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34941206--0.34936412) × cos(1.03538834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510191975227425 × 6371000     		do = 155.825761575976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34941206--0.34936412) × cos(1.03536388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510213012155836 × 6371000     		du = 155.832186795403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03538834)-sin(1.03536388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510191975227425-0.510213012155836)×R²
    abs(-0.34936412--0.34941206)×2.10369284112666e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10369284112666e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10369284112666e-05×40589641000000     		ar = 24283.5552113813m²