Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58246 / 38501
↖ ↑ ↗
← N 59.393374°
W 20.022583°		 ← 155.50 m → N 59.393374°
W 20.019836°		 →
↑
155.52 m
↓
↑
155.52 m
↓
N 59.391975°
W 20.022583°		 ← 155.51 m →
24 184 m²		 N 59.391975°
W 20.019836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444385528564453 y=0.293743133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444385528564453 × 217)
    floor (0.444385528564453 × 131072)
    floor (58246.5)     		tx = 58246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293743133544922 × 217)
    floor (0.293743133544922 × 131072)
    floor (38501.5)     		ty = 38501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58246 / 38501 ti = "17/58246/38501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58246/38501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58246 ÷ 217
    58246 ÷ 131072     		x = 0.444381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38501 ÷ 217
    38501 ÷ 131072     		y = 0.293739318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.111236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34946000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293739318847656 × 2 - 1) × π
    0.412521362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29597408122822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34946000} λ = -0.34946000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29597408122822))-π/2
    2×atan(3.65455407344151)-π/2
    2×1.30370312738106-π/2
    2.60740625476212-1.57079632675     		φ = 1.03660993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34946000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.022583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03660993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.393374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58246 KachelY 38501 -0.34946000 1.03660993 -20.022583 59.393374
    Oben rechts KachelX + 1 58247 KachelY 38501 -0.34941206 1.03660993 -20.019836 59.393374
    Unten links KachelX 58246 KachelY + 1 38502 -0.34946000 1.03658552 -20.022583 59.391975
    Unten rechts KachelX + 1 58247 KachelY + 1 38502 -0.34941206 1.03658552 -20.019836 59.391975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03660993-1.03658552) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dl = 155.516109999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03660993-1.03658552) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dr = 155.516109999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34946000--0.34941206) × cos(1.03660993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.509140953447213 × 6371000     		do = 155.504752470819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34946000--0.34941206) × cos(1.03658552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.509161962571285 × 6371000     		du = 155.511169198085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03660993)-sin(1.03658552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509140953447213-0.509161962571285)×R²
    abs(-0.34941206--0.34946000)×2.10091240725463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10091240725463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10091240725463e-05×40589641000000     		ar = 24183.9931441443m²