Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58244 / 85532
↖ ↑ ↗
← S 48.041365°
W 20.028076°		 ← 204.16 m → S 48.041365°
W 20.025330°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 48.043202°
W 20.028076°		 ← 204.16 m →
41 687 m²		 S 48.043202°
W 20.025330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444370269775391 y=0.652561187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444370269775391 × 217)
    floor (0.444370269775391 × 131072)
    floor (58244.5)     		tx = 58244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652561187744141 × 217)
    floor (0.652561187744141 × 131072)
    floor (85532.5)     		ty = 85532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58244 / 85532 ti = "17/58244/85532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58244/85532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58244 ÷ 217
    58244 ÷ 131072     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85532 ÷ 217
    85532 ÷ 131072     		y = 0.652557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.30511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.958546244802643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958546244802643))-π/2
    2×atan(0.383449923297977)-π/2
    2×0.366158164555723-π/2
    0.732316329111446-1.57079632675     		φ = -0.83848000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83848000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.041365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58244 KachelY 85532 -0.34955587 -0.83848000 -20.028076 -48.041365
    Oben rechts KachelX + 1 58245 KachelY 85532 -0.34950794 -0.83848000 -20.025330 -48.041365
    Unten links KachelX 58244 KachelY + 1 85533 -0.34955587 -0.83851205 -20.028076 -48.043202
    Unten rechts KachelX + 1 58245 KachelY + 1 85533 -0.34950794 -0.83851205 -20.025330 -48.043202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83848000--0.83851205) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83848000--0.83851205) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(-0.83848000) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.668593911894915 × 6371000     		do = 204.163194181761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(-0.83851205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66857007828321 × 6371000     		du = 204.155916301708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83848000)-sin(-0.83851205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668593911894915-0.66857007828321)×R²
    abs(-0.34950794--0.34955587)×2.38336117053262e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38336117053262e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38336117053262e-05×40589641000000     		ar = 41687.4518761987m²