Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58244 / 39059
↖ ↑ ↗
← N 58.604042°
W 20.028076°		 ← 159.08 m → N 58.604042°
W 20.025330°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.602610°
W 20.028076°		 ← 159.08 m →
25 317 m²		 N 58.602610°
W 20.025330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444370269775391 y=0.298000335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444370269775391 × 217)
    floor (0.444370269775391 × 131072)
    floor (58244.5)     		tx = 58244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298000335693359 × 217)
    floor (0.298000335693359 × 131072)
    floor (39059.5)     		ty = 39059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58244 / 39059 ti = "17/58244/39059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58244/39059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58244 ÷ 217
    58244 ÷ 131072     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39059 ÷ 217
    39059 ÷ 131072     		y = 0.297996520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297996520996094 × 2 - 1) × π
    0.404006958007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26922529124023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26922529124023))-π/2
    2×atan(3.55809500697228)-π/2
    2×1.29681490238068-π/2
    2.59362980476137-1.57079632675     		φ = 1.02283348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02283348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.604042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58244 KachelY 39059 -0.34955587 1.02283348 -20.028076 58.604042
    Oben rechts KachelX + 1 58245 KachelY 39059 -0.34950794 1.02283348 -20.025330 58.604042
    Unten links KachelX 58244 KachelY + 1 39060 -0.34955587 1.02280850 -20.028076 58.602610
    Unten rechts KachelX + 1 58245 KachelY + 1 39060 -0.34950794 1.02280850 -20.025330 58.602610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02283348-1.02280850) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dl = 159.147580000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02283348-1.02280850) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dr = 159.147580000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(1.02283348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.520949422495505 × 6371000     		do = 159.078173180468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(1.02280850) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.520970744949873 × 6371000     		du = 159.084684248419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02283348)-sin(1.02280850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520949422495505-0.520970744949873)×R²
    abs(-0.34950794--0.34955587)×2.13224543681445e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13224543681445e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13224543681445e-05×40589641000000     		ar = 25317.4244041717m²