Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58243 / 38500
N 59.394772°
W 20.030823°
← 155.50 m → N 59.394772°
W 20.028076°

155.45 m

155.45 m
N 59.393374°
W 20.030823°
← 155.50 m →
24 173 m²
N 59.393374°
W 20.028076°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444362640380859 y=0.293735504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444362640380859 × 217)
    floor (0.444362640380859 × 131072)
    floor (58243.5)
    tx = 58243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293735504150391 × 217)
    floor (0.293735504150391 × 131072)
    floor (38500.5)
    ty = 38500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58243 / 38500 ti = "17/58243/38500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58243/38500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58243 ÷ 217
    58243 ÷ 131072
    x = 0.444358825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38500 ÷ 217
    38500 ÷ 131072
    y = 0.293731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.444358825683594 × 2 - 1) × π
    -0.111282348632812 × 3.1415926535
    Λ = -0.34960381
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.293731689453125 × 2 - 1) × π
    0.41253662109375 × 3.1415926535
    Φ = 1.29602201812784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34960381} λ = -0.34960381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29602201812784))-π/2
    2×atan(3.65472926563234)-π/2
    2×1.30371533044875-π/2
    2.6074306608975-1.57079632675
    φ = 1.03663433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34960381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.030823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03663433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.394772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58243 KachelY 38500 -0.34960381 1.03663433 -20.030823 59.394772
    Oben rechts KachelX + 1 58244 KachelY 38500 -0.34955587 1.03663433 -20.028076 59.394772
    Unten links KachelX 58243 KachelY + 1 38501 -0.34960381 1.03660993 -20.030823 59.393374
    Unten rechts KachelX + 1 58244 KachelY + 1 38501 -0.34955587 1.03660993 -20.028076 59.393374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.03663433-1.03660993) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000
    dl = 155.452400000226m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.03663433-1.03660993) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000
    dr = 155.452400000226m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34960381--0.34955587) × cos(1.03663433) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509119952626725 × 6371000
    do = 155.498338279861m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34960381--0.34955587) × cos(1.03660993) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509140953447213 × 6371000
    du = 155.504752470999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.03663433)-sin(1.03660993))×
    abs(λ12)×abs(0.509119952626725-0.509140953447213)×
    abs(-0.34955587--0.34960381)×2.10008204873935e-05×
    4.79400000000241e-05×2.10008204873935e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10008204873935e-05×40589641000000
    ar = 24173.0884336768m²