Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58241 / 85678
↖ ↑ ↗
← S 48.308774°
W 20.036316°		 ← 203.10 m → S 48.308774°
W 20.033570°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
S 48.310601°
W 20.036316°		 ← 203.09 m →
41 251 m²		 S 48.310601°
W 20.033570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444347381591797 y=0.653675079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444347381591797 × 217)
    floor (0.444347381591797 × 131072)
    floor (58241.5)     		tx = 58241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653675079345703 × 217)
    floor (0.653675079345703 × 131072)
    floor (85678.5)     		ty = 85678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58241 / 85678 ti = "17/58241/85678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58241/85678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58241 ÷ 217
    58241 ÷ 131072     		x = 0.444343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85678 ÷ 217
    85678 ÷ 131072     		y = 0.653671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444343566894531 × 2 - 1) × π
    -0.111312866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34969968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.307342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965545032147171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34969968} λ = -0.34969968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965545032147171))-π/2
    2×atan(0.380775608225111)-π/2
    2×0.36382457758524-π/2
    0.72764915517048-1.57079632675     		φ = -0.84314717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34969968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84314717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.308774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58241 KachelY 85678 -0.34969968 -0.84314717 -20.036316 -48.308774
    Oben rechts KachelX + 1 58242 KachelY 85678 -0.34965175 -0.84314717 -20.033570 -48.308774
    Unten links KachelX 58241 KachelY + 1 85679 -0.34969968 -0.84317905 -20.036316 -48.310601
    Unten rechts KachelX + 1 58242 KachelY + 1 85679 -0.34965175 -0.84317905 -20.033570 -48.310601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84314717--0.84317905) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dl = 203.107480000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84314717--0.84317905) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dr = 203.107480000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.84314717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665116005722269 × 6371000     		do = 203.101173692968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.84317905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66509219931156 × 6371000     		du = 203.093904119067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84314717)-sin(-0.84317905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665116005722269-0.66509219931156)×R²
    abs(-0.34965175--0.34969968)×2.38064107088709e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38064107088709e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38064107088709e-05×40589641000000     		ar = 41250.6293250069m²