Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58241 / 38534
↖ ↑ ↗
← N 59.347195°
W 20.036316°		 ← 155.68 m → N 59.347195°
W 20.033570°		 →
↑
155.71 m
↓
↑
155.71 m
↓
N 59.345795°
W 20.036316°		 ← 155.69 m →
24 242 m²		 N 59.345795°
W 20.033570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444347381591797 y=0.293994903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444347381591797 × 217)
    floor (0.444347381591797 × 131072)
    floor (58241.5)     		tx = 58241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293994903564453 × 217)
    floor (0.293994903564453 × 131072)
    floor (38534.5)     		ty = 38534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58241 / 38534 ti = "17/58241/38534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58241/38534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58241 ÷ 217
    58241 ÷ 131072     		x = 0.444343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38534 ÷ 217
    38534 ÷ 131072     		y = 0.293991088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444343566894531 × 2 - 1) × π
    -0.111312866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34969968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293991088867188 × 2 - 1) × π
    0.412017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29439216354076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34969968} λ = -0.34969968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29439216354076))-π/2
    2×atan(3.64877743999691)-π/2
    2×1.30330014360845-π/2
    2.6066002872169-1.57079632675     		φ = 1.03580396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34969968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03580396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.347195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58241 KachelY 38534 -0.34969968 1.03580396 -20.036316 59.347195
    Oben rechts KachelX + 1 58242 KachelY 38534 -0.34965175 1.03580396 -20.033570 59.347195
    Unten links KachelX 58241 KachelY + 1 38535 -0.34969968 1.03577952 -20.036316 59.345795
    Unten rechts KachelX + 1 58242 KachelY + 1 38535 -0.34965175 1.03577952 -20.033570 59.345795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03580396-1.03577952) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dl = 155.707240000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03580396-1.03577952) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dr = 155.707240000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(1.03580396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.509834472806951 × 6371000     		do = 155.684089580406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(1.03577952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.509855497715096 × 6371000     		du = 155.690509789038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03580396)-sin(1.03577952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509834472806951-0.509855497715096)×R²
    abs(-0.34965175--0.34969968)×2.10249081449287e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10249081449287e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10249081449287e-05×40589641000000     		ar = 24241.6397380412m²