Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58240 / 85623
↖ ↑ ↗
← S 48.208202°
W 20.039063°		 ← 203.54 m → S 48.208202°
W 20.036316°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
S 48.210032°
W 20.039063°		 ← 203.54 m →
41 418 m²		 S 48.210032°
W 20.036316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444339752197266 y=0.653255462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444339752197266 × 217)
    floor (0.444339752197266 × 131072)
    floor (58240.5)     		tx = 58240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653255462646484 × 217)
    floor (0.653255462646484 × 131072)
    floor (85623.5)     		ty = 85623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58240 / 85623 ti = "17/58240/85623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58240/85623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58240 ÷ 217
    58240 ÷ 131072     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85623 ÷ 217
    85623 ÷ 131072     		y = 0.653251647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653251647949219 × 2 - 1) × π
    -0.306503295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.962908502668068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962908502668068))-π/2
    2×atan(0.381780858945383)-π/2
    2×0.364702239799787-π/2
    0.729404479599574-1.57079632675     		φ = -0.84139185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84139185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.208202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58240 KachelY 85623 -0.34974762 -0.84139185 -20.039063 -48.208202
    Oben rechts KachelX + 1 58241 KachelY 85623 -0.34969968 -0.84139185 -20.036316 -48.208202
    Unten links KachelX 58240 KachelY + 1 85624 -0.34974762 -0.84142379 -20.039063 -48.210032
    Unten rechts KachelX + 1 58241 KachelY + 1 85624 -0.34969968 -0.84142379 -20.036316 -48.210032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84139185--0.84142379) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84139185--0.84142379) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34969968) × cos(-0.84139185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666425748129532 × 6371000     		do = 203.543577277383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34969968) × cos(-0.84142379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66640193423888 × 6371000     		du = 203.536303902208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84139185)-sin(-0.84142379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666425748129532-0.66640193423888)×R²
    abs(-0.34969968--0.34974762)×2.38138906520913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38138906520913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38138906520913e-05×40589641000000     		ar = 41418.289593687m²