Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58237 / 85848
↖ ↑ ↗
← S 48.618385°
W 20.047302°		 ← 201.91 m → S 48.618385°
W 20.044555°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
S 48.620201°
W 20.047302°		 ← 201.90 m →
40 764 m²		 S 48.620201°
W 20.044555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444316864013672 y=0.654972076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444316864013672 × 217)
    floor (0.444316864013672 × 131072)
    floor (58237.5)     		tx = 58237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654972076416016 × 217)
    floor (0.654972076416016 × 131072)
    floor (85848.5)     		ty = 85848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58237 / 85848 ti = "17/58237/85848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58237/85848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58237 ÷ 217
    58237 ÷ 131072     		x = 0.444313049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85848 ÷ 217
    85848 ÷ 131072     		y = 0.65496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444313049316406 × 2 - 1) × π
    -0.111373901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34989143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.3099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.973694305082581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34989143} λ = -0.34989143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973694305082581))-π/2
    2×atan(0.377685173368236)-π/2
    2×0.361122714149657-π/2
    0.722245428299315-1.57079632675     		φ = -0.84855090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34989143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.047302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84855090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.618385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58237 KachelY 85848 -0.34989143 -0.84855090 -20.047302 -48.618385
    Oben rechts KachelX + 1 58238 KachelY 85848 -0.34984349 -0.84855090 -20.044555 -48.618385
    Unten links KachelX 58237 KachelY + 1 85849 -0.34989143 -0.84858259 -20.047302 -48.620201
    Unten rechts KachelX + 1 58238 KachelY + 1 85849 -0.34984349 -0.84858259 -20.044555 -48.620201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84855090--0.84858259) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dl = 201.896990000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84855090--0.84858259) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dr = 201.896990000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34989143--0.34984349) × cos(-0.84855090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661071132992903 × 6371000     		do = 201.908139987097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34989143--0.34984349) × cos(-0.84858259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661047354917644 × 6371000     		du = 201.900877550865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84855090)-sin(-0.84858259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661071132992903-0.661047354917644)×R²
    abs(-0.34984349--0.34989143)×2.37780752585515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37780752585515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37780752585515e-05×40589641000000     		ar = 40763.9125914177m²