Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58235 / 86293
↖ ↑ ↗
← S 49.419907°
W 20.052795°		 ← 198.64 m → S 49.419907°
W 20.050049°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
S 49.421694°
W 20.052795°		 ← 198.63 m →
39 459 m²		 S 49.421694°
W 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444301605224609 y=0.658367156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444301605224609 × 217)
    floor (0.444301605224609 × 131072)
    floor (58235.5)     		tx = 58235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658367156982422 × 217)
    floor (0.658367156982422 × 131072)
    floor (86293.5)     		ty = 86293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58235 / 86293 ti = "17/58235/86293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58235/86293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58235 ÷ 217
    58235 ÷ 131072     		x = 0.444297790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86293 ÷ 217
    86293 ÷ 131072     		y = 0.658363342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444297790527344 × 2 - 1) × π
    -0.111404418945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34998730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658363342285156 × 2 - 1) × π
    -0.316726684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.995026225413506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34998730} λ = -0.34998730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995026225413506))-π/2
    2×atan(0.369713748520985)-π/2
    2×0.354128113210432-π/2
    0.708256226420863-1.57079632675     		φ = -0.86254010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34998730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.052795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86254010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.419907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58235 KachelY 86293 -0.34998730 -0.86254010 -20.052795 -49.419907
    Oben rechts KachelX + 1 58236 KachelY 86293 -0.34993937 -0.86254010 -20.050049 -49.419907
    Unten links KachelX 58235 KachelY + 1 86294 -0.34998730 -0.86257128 -20.052795 -49.421694
    Unten rechts KachelX + 1 58236 KachelY + 1 86294 -0.34993937 -0.86257128 -20.050049 -49.421694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86254010--0.86257128) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86254010--0.86257128) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34998730--0.34993937) × cos(-0.86254010) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650510369542712 × 6371000     		do = 198.641166979504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34998730--0.34993937) × cos(-0.86257128) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650486688098425 × 6371000     		du = 198.633935565603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86254010)-sin(-0.86257128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650510369542712-0.650486688098425)×R²
    abs(-0.34993937--0.34998730)×2.36814442871047e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36814442871047e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36814442871047e-05×40589641000000     		ar = 39458.9085880381m²