Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58234 / 36019
↖ ↑ ↗
← N 62.690530°
W 20.055542°		 ← 140.13 m → N 62.690530°
W 20.052795°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
N 62.689270°
W 20.055542°		 ← 140.13 m →
19 632 m²		 N 62.689270°
W 20.052795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444293975830078 y=0.274806976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444293975830078 × 217)
    floor (0.444293975830078 × 131072)
    floor (58234.5)     		tx = 58234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274806976318359 × 217)
    floor (0.274806976318359 × 131072)
    floor (36019.5)     		ty = 36019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58234 / 36019 ti = "17/58234/36019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58234/36019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58234 ÷ 217
    58234 ÷ 131072     		x = 0.444290161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36019 ÷ 217
    36019 ÷ 131072     		y = 0.274803161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444290161132812 × 2 - 1) × π
    -0.111419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35003524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274803161621094 × 2 - 1) × π
    0.450393676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.4149534660852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35003524} λ = -0.35003524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4149534660852))-π/2
    2×atan(4.11629491419963)-π/2
    2×1.33247623791532-π/2
    2.66495247583065-1.57079632675     		φ = 1.09415615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35003524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.055542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09415615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.690530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58234 KachelY 36019 -0.35003524 1.09415615 -20.055542 62.690530
    Oben rechts KachelX + 1 58235 KachelY 36019 -0.34998730 1.09415615 -20.052795 62.690530
    Unten links KachelX 58234 KachelY + 1 36020 -0.35003524 1.09413416 -20.055542 62.689270
    Unten rechts KachelX + 1 58235 KachelY + 1 36020 -0.34998730 1.09413416 -20.052795 62.689270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09415615-1.09413416) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dl = 140.098290000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09415615-1.09413416) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dr = 140.098290000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35003524--0.34998730) × cos(1.09415615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458796428649635 × 6371000     		do = 140.128238729742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35003524--0.34998730) × cos(1.09413416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458815967564309 × 6371000     		du = 140.134206417215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09415615)-sin(1.09413416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458796428649635-0.458815967564309)×R²
    abs(-0.34998730--0.35003524)×1.95389146737113e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95389146737113e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95389146737113e-05×40589641000000     		ar = 19632.1446590058m²