Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58232 / 86584
↖ ↑ ↗
← S 49.937080°
W 20.061035°		 ← 196.54 m → S 49.937080°
W 20.058289°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
S 49.938847°
W 20.061035°		 ← 196.53 m →
38 628 m²		 S 49.938847°
W 20.058289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444278717041016 y=0.660587310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444278717041016 × 217)
    floor (0.444278717041016 × 131072)
    floor (58232.5)     		tx = 58232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660587310791016 × 217)
    floor (0.660587310791016 × 131072)
    floor (86584.5)     		ty = 86584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58232 / 86584 ti = "17/58232/86584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58232/86584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58232 ÷ 217
    58232 ÷ 131072     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86584 ÷ 217
    86584 ÷ 131072     		y = 0.66058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66058349609375 × 2 - 1) × π
    -0.3211669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00897586320294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00897586320294))-π/2
    2×atan(0.364592180702575)-π/2
    2×0.349614933111615-π/2
    0.699229866223229-1.57079632675     		φ = -0.87156646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87156646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.937080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58232 KachelY 86584 -0.35013111 -0.87156646 -20.061035 -49.937080
    Oben rechts KachelX + 1 58233 KachelY 86584 -0.35008318 -0.87156646 -20.058289 -49.937080
    Unten links KachelX 58232 KachelY + 1 86585 -0.35013111 -0.87159731 -20.061035 -49.938847
    Unten rechts KachelX + 1 58233 KachelY + 1 86585 -0.35008318 -0.87159731 -20.058289 -49.938847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87156646--0.87159731) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dl = 196.545349999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87156646--0.87159731) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dr = 196.545349999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(-0.87156646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64362846588642 × 6371000     		do = 196.539694908983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(-0.87159731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64360485489995 × 6371000     		du = 196.532485010225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87156646)-sin(-0.87159731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64362846588642-0.64360485489995)×R²
    abs(-0.35008318--0.35013111)×2.36109864693024e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36109864693024e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36109864693024e-05×40589641000000     		ar = 38628.2545917162m²